2024-2025学年重庆七中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆七中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为( )
A. B. C. D.
2.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.在同一平面直角坐标系中，表示：与：的直线可能正确的是( )
A. B.
C. D.
4.柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体如图是棱长均为的柏拉图多面体，，，，分别为，，，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点，且方向向量为的直线的方程为阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，直线交轴于点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点，另两个顶点，恰好落在直线上，若点在第二象限内，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 已知空间向量，若，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若，，则向量在向量上的投影向量
D. 任意向量，，满足
10.下列说法错误的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线，其方程均可写为
D. 已知，，若直线：与线段有公共点，则
11.如图，四边形中，，，将四边形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是( )
A. 两条异面直线与所成角的范围是
B. 为线段上一点包括端点，当时，
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 当二面角的大小为时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 ______．
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个
半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为 ．
14.已知，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，侧棱的长为，且．
的长；
直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
求角
设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
17.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．
求点的坐标；
求所在直线的方程．
18.本小题分
图是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
瀑布图是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”图
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为，定义正方形，，，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，，将极点，，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，，，，如图埃舍尔多面体可视部分是由个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图我们构造了其中两个四棱锥与
求异面直线与成角余弦值；
求平面与平面的夹角正弦值；
求埃舍尔体的表面积与体积直接写出答案．
参考答案
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15.解：在平行六面体中，
底面是边长为的菱形，侧棱，
，
则，，
，
，
而，
则
．
以作为空间的一个基底，
则，，
所以
，
，
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
16.解：由，结合正弦定理得，于是，再根据，因为，得；
，得．
由，得，所以，又因为，
所以．
17.解：因为，的方程为，不妨设直线的方程为，
将代入得，解得，所以直线的方程为，
联立直线，的方程，即，解得点的坐标为．
设，则，
因为点在上，点在上，
所以，解得，
所以，所以直线的方程为，
整理得．

18.解：证明：如图所示，
在图中，连接，交于，因为四边形是边长为的菱形，且，
所以，且，
在图中，相交直线，均与垂直，
所以是二面角的平面角，
因为，
所以，
所以，
所以平面平面．
由知，分别以直线，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，
令，则，，
所以．
因为到平面的距离为，
所以，
解得，
由，得，
所以，，，
所以，
所以．
设直线与平面所成的角为，
所以．
19.解：由题意可知，，，两两垂直，且，
分别以的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则由题意可得：，，，，
，，，，
又，分别是，的中点，，．
，，
，
异面直线与成角余弦值为；
由可得，，，，
设是平面的一个法向量，
则，，取，
设是平面的一个法向量，
则，，取，
，
平面与平面的夹角正弦值为；
，，，
，，，
，
，且，
四边形为平行四边形，
又，，
四边形为菱形，又，，
，
设是平面的一个法向量，
则，取，
又，
点到平面的距离，
四棱锥的体积，
，，，
在方向上的投影为，
点到直线的距离，
同理可得点到直线的距离，
四棱锥的侧面积，
埃舍尔体的表面积为，体积为．
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