1.2 集合间的基本关系 课件(共19张PPT)

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第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
利川市第二中学数学组
知识回顾
集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
集合中元素的性质：
确定性：它的每一个元素必须是确定的；
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列调换．
常用数集：
N：自然数集（非负整数集）；
N＋或N﹡：正整数集(非零自然数集)；
Z：整数集； Q：有理数集； R：实数集．
集合的表示：
自然语言 列举法 描述法
问题引入
问题1：在初中，我们认识到数与数之间存在哪些关系？
问题2：在平面内，两直线的交点与这两条直线有什么关系？
有大小关系、相等关系等等，比如5<7, 7=7.
交点在这两条直线上
思考：集合与集合之间存在着关系吗？有着怎样的关系？
观察
观察以下几组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？
（1）A={1,2,3}， B={1,2,3,4,5}；
（2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
（3）E={x|x是两边相等的三角形}, F={x|x是等腰三角形}．
可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素．这时我们说
集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．（2）中的集合C与集合D也有这种
关系．
子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
记作： A B（或B A）
读作： “A包含于B”（或“B包含A”）．
维恩图
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
这样，上述集合A与集合B的包含关系，如下图：
你能用语言解释它吗？如何用符号表示
集合的相等
在（3）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由等腰三角形组成的集合．即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素都是集合E中的元素．这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的．
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一
个元素都是集合B的元素，同时集合B中的任何一个元素
都是集合A的元素，则称集合A等于集合B，记作 A=B．
从而得到：若A B且B A，则A=B; 反之也成立．
思考
对于集合A={1,2,3}，和集合B={1,2,3,4,5}．
问题1：两个集合有何关系？
问题2：两个集合中元素有何关系？
1，2，3是集合A中的元素，也是集合B中的元素；
4，5在集合中B，但不是集合A中的元素．
真子集的定义
对于两个集合A与B，如果A B，但存在元素x B,且x A ，则称集合A是集合B的真子集(proper subset)．
记作： A B（或B A）
读作： “A真包含于B”（或“B真包含A”）．
子集、真子集的区别与联系：
1.若A是B的真子集，则A是B的子集。
2.若A是B的子集，则A不一定是B的真子集，还有可能A=B。
空集
我们知道，方程x ＋1=0没有实数根，所以方程x +1=0的实数根组成的集合中没有元素．
问题：方程x ＋1=0的解是什么？
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．
并规定∶空集是任何集合的子集
结合Venn图，根据上述集合之间的基本关系，可以得到什么结论？
C
B
A
问题
（1）对于集合A，B，C，如果A B，且B C，则A C；
（2）任何一个集合是它本身的子集，即A A；
（3）空集是任何集合的子集，即 A；
（4）空集是任何非空集合的真子集，即若A≠ ，则 A．
思考
包含关系{a} A与属于关系a∈ A有什么区别？试结合实例作出解释
{a} A是集合与集合之间的关系，a∈ A是元素与集合之间
的关系．
如:{1} {1，2，3}，而不是{1} ∈{1，2，3}.
1∈{1，2，3}，而不是1 {1，2，3}.
两者要区别对待。
例题精讲
例1.写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
解：集合{a，b}的所有子集为： ，{a}，{b}，{a，b}
真子集为： ，{a}，{b}.
例题精讲
例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
（1）A={1，2，3}，B= {x|x是8的约数}；
（2）A={x|x是正方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
解：
（1）不是. 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集；
（2）是. 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，
所以集合A是集合B的子集．
练习
（1）写出 的所有子集；
（2）写出{a}的所有子集；
（3）写出{a，b}的所有子集；
（4）写出{a，b，c}的所有子集；
思考：归纳出集合A中含有n个元素与集合A的子集个数有什么关系？
元素个数与集合子集个数的关系:
集合 集合元素的个数 集合子集个数
0 1
{a} 1 2
{a, b} 2 4
{a, b, c} 3 8
{a, b, c, d} 4 16
…… …… ……
A n 2n
我们可以归纳得出：
设集合A中含有n个元素，则集合A共有2n个子集，2n-1个真子集．
例题精讲
例3.集合A={x|－10}，若A B，则a的取值范围是？
解：集合B={x|x－a>0} ={x|x>a}
A
a
-1
1
结合数轴可知：
要使A B，则只要a≤－1即可，即a的取值范围是{a|a≤－1}．
练习
已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0A.4 B.8 C.7 D.16
【解析】
依题意得A={1，2}，B={1，2，3，4，5}．
令集合M={3，4，5}，集合N为集合M的子集，则可知满足条件的集合C
的个数即为集合M子集的个数，结合子集数公式可得，集合C的个数为8．
课堂小结
子集的概念：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集．记作： A B（或B A），读作： “A包含于B”（或“B包含A”）．
集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素
都是集合B的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素，则
称集合A等于集合B，记作A=B．若A B且B A，则A=B; 反之也成立．
真子集：对于两个集合A与B，如果A B，但存在元素 ，则称集合
A是集合B的真子集．
集合性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A；（2）对于集
合A，B，C，如果A B，且B C，则A C；（3）空集是任何集合的子集；
（4）空集是任何非空集合的真子集．
集合元素个数与其子集的个数的关系：
设集合A中含有n个元素，则集合A共有2n个子集， 2n-1个真子集．
课后练习