2024-2025学年云南省昆明三中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年云南省昆明三中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.点关于直线的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A. B. C. D.
7.已知曲线，则的最大值，最小值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线：恒过定点
D. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
10.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线与所成角的取值范围是
C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两条平行直线：与：之间的距离为______．
13.设为坐标原点，向量，，，点在直线上运动，则的最小值为______．
14.欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ已知直线：与圆相交于、两点，求弦长的值；
Ⅲ过点引圆的切线，求切线的方程．
16.本小题分
已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求直线的方程；
求的值；
求的外接圆方程．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面的夹角．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点．
求证：平面；
若判断直线是否在平面内，说明理由．
设与平面所成角为，求的范围．
19.本小题分
已知圆：与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为．
Ⅰ求的值及的面积；
Ⅱ若圆与轴交于、两点，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交：于、两点当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
参考答案
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15.解：Ⅰ由圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．可得圆心为，半径为．
则圆的方程为．
Ⅱ设圆心到的距离为，则，
弦长．
Ⅲ当斜率不存在时，过的直线是，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设切线方程为．
由，解得．
此时切线方程为．
综上所述，切线方程为或．
16.解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，可得直线的斜率为，
又的顶点，可得直线的方程为，即．
顶点在轴上，设，则线段的中点为，
点在直线上，可得，得，即，
又点在直线上，则，解得．
由可知直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为．
联立，解得：，即，
又，，
可得的中点坐标为，可得，
则线段的垂直平分线方程为，即，
的中点的坐标，的斜率，的垂线的斜率为，
可得线段的垂直平分线方程为，即，
由，解得，可得的外接圆圆心为，
可得的外接圆半径为，
即的外接圆方程为．
17.解：证明：如图，以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取．
因为，所以．
又平面，
所以平面．
设，
则，因为，
所以．
即，解得，
所以．
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
设平面的一个法向量为，
则，取．
因为，所以．
所以平面与平面夹角为．
18.解：证明：因为平面，平面，所以，
又因为，、是平面内相交直线，故CD平面，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，故
因为，且、、有公共点，故直线在平面内；
由可知，
设，
则，
故
，
令，
则，
而，，故．
19.解：Ⅰ由题知：直线方程为，
则由，得到，即，
点为线段的中点，，
，，
到直线距离为．
，
又：到直线的距离为，边上的高为．
；
Ⅱ不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，半径平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，
由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点．
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