2024-2025学年陕西省西安交大附中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安交大附中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.曲线与曲线的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
3.平面内，“动点到两个定点的距离之和为正常数”是“动点的轨迹是椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则( )
A. B. C. D.
5.圆与圆的公切条数为( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，这样的直线有条，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：，则( )
A. 实轴长为
B. 离心率为
C. 两渐近线夹角的正切值不存在
D. 直线与曲线有且仅有一个公共点，则
10.已知直线的方程，则( )
A. 恒过定点
B. 存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数
C. 直线的斜率一定存在
D. 点到直线的距离最大值为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，则( )
A. 与有相同离心率的椭圆标准方程一定是
B. 过的直线与椭圆交于两点，，则
C. 设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值
D. 设圆：，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知方程表示椭圆，则的取值范围为______．
13.设集合，，若，则实数 ______．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知定点，，动点到定点，距离之比为．
求动点的轨迹的方程；
过点作的切线，切点为、，求所在直线方程．
16.本小题分
已知椭圆的左焦点为，是椭圆上任意一点，的最大值为，最小值为．
求椭圆的标准方程；
已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于、两点，求以为中点的弦所在的直线方程．
17.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线右支且不在坐标轴上，
若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
若，，求的面积．
18.本小题分
设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
求点的轨迹的方程；
过的直线与曲线交右支于、两点在轴上方，曲线与轴左、右交点分别为、，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆，左焦点．
设直线：与椭圆交于、，点是椭圆上任意一点，证明：；
过做两条互相垂直的直线、，交椭圆于、，交椭圆于、，
(ⅰ)记四边形面积为，求的取值范围；
(ⅱ)设的中点为，的中点为，直线与直线交于，证明．
参考答案
1.
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13.或
14.
15.解：设，定点，，动点到定点，距离之比为．
可得，即，
化简可得，即．
动点的轨迹的方程．
的圆心，半径为，
圆的圆心到的距离为：，
过点作的切线，切点为、，可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
所以所在直线方程：，
即．
16.解：因为的最大值为，最小值为，
所以，，则，，所以，
所以椭圆方程为．
根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，设，，
所以，
两式作差得：，
即，
由于是的中点，故，，
又，
所以，所以中点弦的方程为，
即所求的直线方程．
17.解：双曲线与椭圆有共同的焦点，可得，双曲线过点，
可得，，解得，，
双曲线的标准方程为：．
设，，
由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，得，
可得，
则的面积．
18.解：设，由题意可得为到定直线的距离，
即有，
两边平方，化简可得，
即点的轨迹的方程为；
由双曲线的方程可得，，又，
设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
设，，，，可得，，
即有，
则，
则为定值．
19.解：证明：由题，两点关于原点对称，设，，，
则，，
所以
，
即，得证；
若直线：，则，，；
若直线：，则：，故；若
两直线斜率都存在，设直线：，，
联立，消去得，
由在椭圆内部，故恒成立，
设，，则有，，
则，
同理可得．
因为，所以，
令，则；
综上所述，．
证明：如图，取中点，令、分别为、与交点，
由、分别为、中点，故G，
故，则，
即，
由、分别为、中点，故H，故，
则，即，
则，
由，
故
．
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