2024-2025学年辽宁省大连育明中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连育明中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2.已知直线方程为，则( )
A. 斜率为 B. 倾斜角为
C. 方向向量 D. 法向量是
3.方程表示的曲线是( )
A. 轴上方的半圆 B. 轴下方的半圆 C. 轴左侧的半圆 D. 轴右侧的半圆
4.在四棱锥中，平面，，，，，，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.曲线与、轴正半轴围成的凸四边形面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知点，，点为直线：上动点，当取最大值，点的横坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知：直线：，直线：，直线：，直线：，则下列正确的是( )
A. 对任意的，恒成立 B. 对任意的，恒成立
C. 存在，使得成立 D. 存在，使得成立
10.在直棱柱中，，底面为棱长是的菱形，，若，其中，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，则的最小值为
D. 若，则点的轨迹长度为
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( )
A. 若点，，则
B. 若对于三点，，，则“”当且仅当“点在线段上”
C. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
D. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知点、、，则角平分线所在直线斜率为______．
13.如图，圆台中，上、下底面半径比为：，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则、夹角余弦值为______．
14.已知圆：上两点，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于、，面积记为．
当直线在轴上截距为时，求的值；
当时，求直线在轴上的截距．
16.本小题分
如图所示的几何体是由三棱锥和三棱锥拼接而成，，，且平面．
求证：，，，四点共面；
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，，
求证：，，，四点共圆；
若直线与，，，所在圆相切，且直线在轴，轴的截距相等，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在三棱柱，平面平面，四边形为矩形，，，且．
求二面角的正弦值；
设为棱上的一个动点包含端点，直线与平面所成角为，求的范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，满足，，．
求点轨迹的方程；
已知点在曲线上，过点作的切线，与轴交于、两点，
若的半径为，
(ⅰ)求面积的范围，并说明理由；
(ⅱ)若与曲线的两个交点记为、，，、与分别交于不同于、的、两点，试判断斜率是否为定值，并说明理由．
参考答案
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15.解：依题意，直线过点，
则其斜率为，方程为，
令，可得，
则；
设直线在轴上的截距为，
则直线过点，
故其斜率为，方程为，
令，可得，
则，解得或，
则直线在轴上的截距为或．
16.解：证明：平面，平面，
平面平面，平面平面，
，
平面，
，，，，
，
，
，，
平面，
由得：，
，，，四点共面；
，平面，
，，两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，解得，，，
得平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，，
直线与平面所成角的余弦值为．
17.解：证明：点的中点坐标为，直线的斜率为，
可得线段的垂直平分线方程为，
而线段的垂直平分线的方程为，
可得过，，的圆的圆心为，半径为，
即有圆的方程为，
代入的坐标，可得，即有在圆上，故A，，，四点共圆；
若直线与，，，所在圆相切，且直线在轴，轴的截距相等，且为，
设直线的方程为，由，解得或，
即有直线的方程为和；
若直线与，，，所在圆相切，且直线在轴，轴的截距相等，且不为，
设直线的方程为，
由，解得，即有直线的方程为，．
综上，可得直线的方程为和，，．
18.解：过点作交于，过点作交于，如图，
因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
因为，平面，所以，，
因为四边形为矩形，所以，则，
故以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为在中，，，则，又，，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，故，
易知平面的法向量为，
设二面角为，则结合图象可知其为锐角，即，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
由得，，
因为为棱上的一个动点包含端点，
设，则，
设平面的法向量为，
所以，取，则，，故，
因为直线与平面所成角为，其中平面与平面共面，
所以，
对于，
所以在上单调递增，
则，，
所以，
则，
所以的取值范围为．
19.解：设，由题可知，，，
，，，得，
所以点轨迹的方程为．
因为点在曲线上，设，，，
直线的斜率为，直线的斜率为，设切线方程的切线方程为．
(ⅰ)易知：，所以，
由题可知到直线的距离为，
得，
整理得，
显然，
得，
，
令，
得，
当，所以，
令，得，
令，解得或舍，
所以在时，，单调递增；
，，单调递减，
，，，
显然，
所以，
得，
所以
(ⅱ)由题得示意图，作直线与圆相交于点，作直线与圆相交于点，连接，，，，过点作圆的切线，
由切线的性质可知及逆平行线段性质可知，，
所以直线，显然，所以，
同理，所以，
即，
易知，，
，
，
故，
所以，
所以为的角平分线，
所以有，
因为，所以，
由题可知，所以的斜率是．
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