2024-2025学年江西省景德镇市乐平市私立洪马中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省景德镇市乐平市私立洪马中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与圆相交于，两点，且其中为原点，则的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
2.过点的直线与轴，轴分别交于，两点，且，则的方程是( )
A. B. C. D.
3.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.已知过点与圆相切的两条直线分别是，，若，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，定点，若直线与抛物线相交于，两点点在，中间，且与抛物线的准线交于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
7.已知平行于轴的一条直线与双曲线相交于，两点，，为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设，是椭圆：长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是，，点在上，是的一条渐近线，是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点到的距离为
B. 若，则的面积为
C. 若的倾斜角为，则其实轴长为
D. 若直线，的斜率分别为，，则
10.已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，两点点在第一象限，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 为中点
11.已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 椭圆的短轴长为
C. 椭圆的右焦点为，则的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是 ．
13.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
14.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过点，且被平行直线：与：所截得的线段的中点在直线上求直线的方程．
16.本小题分
已知圆过，两点，且圆心在上．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ设是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值．
17.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
求的方程；
设，直线不经过点且与相交于，两点，若直线与交于另一点，求证：直线过定点．
18.本小题分
已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、．
若点的纵坐标为，计算的值；
求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
19.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，．
求椭圆的方程；
，是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：，两点的横坐标之和为常数．
参考答案
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15.解：点在直线上，
设点坐标为，则点到、的距离相等，即，解得
又过点，即，
故直线的方程为．
16.解：设圆的方程为：，
根据题意得，解得：，，
故所求圆的方程为：；
由题知，四边形的面积为．
又，，所以，
而，
即．
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点，使得的值最小，
所以，所以四边形面积的最小值为．
17.解：由题可知，双曲线焦点在轴上，可设双曲线标准方程为，则，解得，所以双曲线方程为．
解：显然直线的斜率不为零，设直线为，，联立，消整理得，依题意得且，即且，，直线的方程为，令，得，所以直线过定点．
18.解：抛物线方程为，所以其准线方程为，
点是抛物线的准线上点，且纵坐标为，所以过作抛物线切线，
由题知斜率存在且不为，设其斜率为，则切线方程为，
联立，
，其两根为，，
所以．
证明：设点、，
下面证明抛物线在其上一点处的切线方程为，
联立可得，
即，即，
解得，所以抛物线在其上一点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在其上一点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线、的方程可得，即，
所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，
由，可得，所以直线过定点．
19.解：因为椭圆经过点，所以；又因为，所以；又，解得，所以椭圆的方程为分
设，，三点坐标分别为，，，
设直线，斜率分别为，，则直线方程为，
由方程组消去，得，
由根与系数关系可得，
故，
同理可得，
又，
故，
则，
从而．
即，两点的横坐标之和为常数．分
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