2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
2.过点引直线，使，两点到该直线的距离相等，则这条直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.直线：，：，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.若点在圆的外部，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知圆，直线， ，则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆：的左、右焦点为、，点为椭圆上一动点，则下列说法中不正确的是( )
A. 当点不在轴上时，的周长是
B. 当点不在轴上时，面积的最大值为
C. 存在点，使
D. 的取值范围是
8.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 直线必过定点
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 过，两点的所有直线的方程为
10.已知曲线的方程为，则( )
A. 曲线可以表示圆 B. 曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C. 曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D. 曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是( )
A. 圆的方程是
B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
D. 在直线上存在异于，的两点，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与直线平行，并且到它的距离等于的直线方程是 ．
13.已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 ．
14.已知椭圆的两个焦点为，点，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆方程：，圆：相交点、．
求经过点、的直线方程．
求三角形的面积．
16.本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
求直线的方程；
在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
角的平分线所在直线方程为；
边上的中线所在的直线方程为．
若_________________，求直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
17.本小题分
已知点在圆：上运动，点．
若点是线段的中点．求点的轨迹的方程；
过原点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上．
求的方程；
已知为坐标原点，点在直线：上，若直线与相切，且，求的值．
19.本小题分
已知，我们称双曲线：与椭圆：互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点．
Ⅰ若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上；
Ⅱ过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，为坐标原点，的面积为．
求双曲线的方程；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：把与圆：相减得，
即过的直线方程为；
因为到直线：的距离，
圆：的半径，
故，
所以三角形的面积．
16.解：因为 边上的高所在的直线方程为 ，
所以直线的斜率为 ，又因为的顶点 ，
所以直线 的方程为： ，即 ；
若选，角的平分线所在直线方程为 ，
由 ，解得 ，所以点坐标为 ，
设点关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即坐标为 ，
又因为点 在直线 上，所以 ，
所以直线的方程为 ，即 ，
若选：边上的中线所在的直线方程为 ，
由，解得 ，所以点 ，
设点 ，则 的中点在直线 上，
所以 ，即 ，又因为点 在直线 上，
所以 ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，
即直线的方程为 ．

17.解：圆：，圆心，半径为．
又点，
设的中点为，则．
由题意得，，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
即的轨迹的方程为．
直线过原点且不与轴重合，可设直线的方程为．
联立直线与的方程，消去并整理得，
由直线与曲线交于，，
则，．
则，
故是定值．
18.解：设，依题意，，
解得，，
故C的方程为．
如图，依题意，
联立，
消去，可得，
依题意，需使，
整理得．
因为，
则直线的斜率为，
则其方程为，
联立，
解得，
即，
故，
将代入得，，
故．
19.证明：依题意可知，，
联立不妨取，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立可得，，
又成立，所以直线，的交点在双曲线上．
因为过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，所以
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以
联立，解得，，所以双曲线的方程为．
证明：由得点，．
设直线的斜率为，，，
则直线的方程，与双曲线联立并消去得，
则，所以，，则，
故．
又，
所以，
解得或舍，
因为，
所以
，
即．
第1页，共1页