2024-2025学年山东省聊城市聊城二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省聊城二中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，若，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.在四面体中，，，，点在上，且，为中点，则( )
A. B.
C. D.
6.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知二面角的大小为，，，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点不包括端点，若，则线段的长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的有( )
A. ，，，是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么，，，共面
B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 平面经过三点是平面的法向量，则
10.在空间直角坐标系中，，，，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离是
11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点包含端点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使
B. 存在点，使
C. 四面体的体积为定值
D. 二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则在方向上的投影向量为 ．
13.点为所在平面外一点，点为所在平面内一点，点为的中点，若成立，则实数的值为______．
14.如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，是等边三角形，，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求的值；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面，底面是边长为的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
写出，，，四点的坐标；
求．
17.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证平面；
求平面与平面的夹角余弦值．
18.本小题分
如图，在中，，，将绕旋转得到，，分别为线段，的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，请用空间向量的知识解答下列问题：
求与平面所成角的大小
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求的值若不存在，说明理由．
参考答案
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12.；

13.
14.
15.解：，，
，，
；
设与的夹角为，则
，，
，，
，
向量与的夹角的余弦值为．
16.解：由题意知，是等边三角形，，，所以，
所以，，，；
，，
所以，．
17.证明：取中点，连接，，
因为是的中点，所以，且，
因为是的中点，所以，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面
解：在四棱柱中，平面，，
所以，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面的夹角余弦值为．
18.解：取的中点，连接，，作，垂足为．
因为，，为的中点，所以，．
又，所以平面．
因为平面，所以又，，
所以平面，即点到平面的距离为的长度．
易证平面，所以．
因为是边长为的等边三角形，所以，又，
所以，所以．
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
所以，，
设平面的法向量为，
可得，令，则，，
所以平面的法向量为，
取的中点，连接，在等腰中，易证，平面，
所以为平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则．
19.解：因为，，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
如图，
以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设与平面所成角为，
则是平面的一个法向量，
所以，，
所以，
即与平面所成角的大小为；
假设存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
由知，，，，
设是平面的法向量，
则，取，
设，其中，
则，
连接，因为平面，平面，平面平面，
故AC，则取与同向的单位向量，
设是平面的法向量，
则
取，
则，，
解得或，即或，
故在侧棱上存在点且当或时，使得平面与平面夹角的余弦值为．
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