2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知两条直线与不重合，则“与的斜率相等”是“与平行”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，，则、、分别为( )
A. B.
C. D.
5.到直线：的距离为的点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.直线关于直线对称的直线方程是( )
A. B. C. D.
7.公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作圆锥曲线论，在此著作第七卷平面轨迹中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，棱长为的正方体中，为线段上动点包括端点．
三棱锥中，点到面的距离为定值
过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
直线与面所成角的正弦值的范围为
当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
以上命题为真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 直线经过定点
B. 过，两点的所有直线的方程为
C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
10.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
11.如图，四边形是边长为的正方形，点，分别为线段，上的动点，，将翻折成，且平面平面，下列说法正确的是( )
A. 存在点，使
B. 当点为中点时，三棱锥的外接球半径为
C. 三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为
D. 存在点，使平面与平面的夹角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.第届夏季奥林匹克运动会女子米跳台跳水决赛中，全红禅以分的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员次跳台跳水的训练成绩：，，，，，，，，，，则这组数据的分位数为 ．
13.曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是______．
14.记函数的最小正周期为若，且的图象关于点中心对称，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求过点，且与直线垂直的直线方程；
已知直线：，：若，求的值．
16.本小题分
已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
求外接圆的方程；
若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
求角
若，为边上一点，为的平分线，且，求的面积．
18.本小题分
已知平面四边形中，，，且以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面．
证明：；
若是线段上一点，且平面，
求三棱锥的体积；
求二面角的平面角的余弦值．
19.本小题分
已知圆的方程为．
求过点的圆的切线方程；
已知，直线与圆交于，异于点两点，若直线，的斜率之积为，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
参考答案
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15.解：设与直线垂直的直线方程为：，
将点代入直线的方程可得，
解得，
所以所求的直线方程；
因为，
所以，
所以或，
当时，：，：，两直线重合，不合题意；
当时，：，：，满足要求．
综上得，．
16.解：设外接圆的方程为，，
因为的三个顶点分别为，，，
所以，解得，
则圆的方程为，
即；
由得圆的圆心坐标为，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，成立．
综上，直线方程为或．
由在圆外，
则在中，，，
又，
则当，即时，取得最大值为，
此时为等腰直角三角形，
即圆心到直线的距离，
即，
解得．

17.解：由
得
又
所以
即
又
所以
即
因为
所以
所以
即
由为的平分线
得
因为
所以
即
由余弦定理得
即
由得，
所以．
18.证明：因为，，所以，
因为，且，所以，
在直角梯形中，，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
解：如图，连接，设，连接，
因为平面，且平面，平面平面，所以，
所以，
在四边形中，由，得，
所以，即，
所以点是线段上靠近点的三等分点，
故．
由知，，，两两垂直，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，
易得平面的一个法向量为，
所以，
由图知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的平面角的余弦值为．
19.解：圆：的圆心坐标为，半径为，
当斜率存在时，设切线方程为，即．
由，解得，则切线方程为，即．
当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为；
过点的圆的切线方程为或．
点在圆：上．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，．
，
则，
整理得，
解得或．
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，故舍去．
所以，故直线的方程为，即，经过定点．
若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，，，
则，整理得．
又，解得，所以直线的方程为，
此时经过点，不符合题意．
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．

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