2024-2025学年湖北省武汉十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取球，下列情况中互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个红球，至少有一个白球 B. 恰有一个红球，都是白球
C. 至少有一个红球，都是白球 D. 至多有一个红球，都是红球
2.对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是( )
A. B.
C. D.
3.向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，
设，若可用表示为( )
A. B.
C. D.
5.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱若，，，则这两个平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，，则当且仅当时，，是互斥事件
B. 若，，则是必然事件
C. 若，，则时，是独立事件
D. 若，且，则，是独立事件
10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 点到直线的距离为
D. 的面积为
11.正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点不包括两个端点，为线段的中点，则( )
A. 与是异面直线
B. 平面平面
C. 存在点使得
D. 当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在用随机数整数模拟“有个男生和个女生，从中抽选人，求选出个男生个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生因为是选出个，所以每个随机数作为一组通过模拟试验产生了组随机数：
由此估计“选出个男生个女生”的概率为______．
13.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______．
14.的内角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
求证：平面；
当时，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
年，某省实行新高考，数学设有个多选题，在给出的，，，四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分现正在进行数学学科期中考试．
根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为求小李同学前三个多选题错一个的概率．
若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．
求小博得分的概率；
求小博得分比小智得分高的概率．
17.本小题分
如图，在三棱柱中底面为正三角形，，，．
证明：；
求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成并将进入建造阶段，洪山区为了激发市民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，这人按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的第百分位数；精确到
现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取人，担任“党章党史”宣传使者．
有甲年龄，乙年龄，且甲、乙确定入选，从人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄平均数和方差．
19.本小题分
如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，．
若点为线段的中点，证明：平面；
若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：取中点为，连接，，如下图所示：
在中，因为，分别为，的中点，
故，
又，
故，，则四边形为平行四边形，，
又面，面，
故EC面．
过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下图所示：
由可知，，
故平面也即平面，
因为，，
则，
又面，面，
故BC，
又，，面，
故BC面，
又面，则，又，
，，面，
故面，
则即为与平面的夹角，
在中，因为，
则，，
在中，因为，，
则，
又，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：根据题意，设事件“小李同学前三个多选题错一个”，
则；
设小博得分为，小智得分为，
根据题意，最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确的选项为，
而小博打算从选项中随机选择两个选项，有、、、、、，共种情况，
其中得分的有、、，共种情况，
则小博得分的概率，
根据题意，由的结论，，则，
，，
故小博得分比小智得分高的概率．
17.解：证明：因为，所以
，，，所以，即；
取的中点，连接交于点，连接、，则为的中点，
所以，所以为异面直线与所成角或其补角，
在等边三角形中，，
在平行四边形中，
，
所以，所以，因为，，
所以，在矩形中，，所以，
在中由余弦定理，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
18.解：设第百分位数为，
，，
位于第三组：内，
；
由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为：，即第四组人，记为，，，甲，
第五组人，记为，乙，
对应的样本空间为：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共个样本点，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有个样本点，
；
设第四组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，
第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，．
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
19.证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，在菱形中，所以，，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
而平面，平面，
可证得：平面；
因为平面平面，，取的中点，
由可得，菱形中，
即，平面平面，平面，
所以底面，
所以，而，，
所以平面，
所以，
建立以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴的空间直角坐标系，
因为，，因为，
所以，，，
则，，，，，，
，，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，即，
所以，，，
，，解得或舍．
所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且．
第1页，共1页