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24章《圆》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，那么这个三角形的外接圆的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
4．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
5．（3分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．15π C．20π D．25π
6．（3分）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．15πcm
7．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
9．（3分）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
10．（3分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的中点，CD⊥AB于点D．“会圆术”给出长l的近似值计算公式：，若l＝1.5，∠AOB＝90°，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝6，则弦BC的长为 ．
12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
13．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，∠P＝42°，则∠BOC＝ ．
14．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ．
15．（3分）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．
17．（6分）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．
19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝12，求AD的长；
（3）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，交于点D，交AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）猜想线段BC，BF的数量关系，并证明．
23．（11分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．
（1）求证：△AOE≌△CDE；
（2）求证：四边形OBCD是菱形；
（3）若CF平分∠ACB交⊙O于点F，∠A＝30°，BC＝4，求CF的长度．
24．（12分）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
（1）现在需要制作一个r＝10cm，l＝30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
（2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
24章《圆》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【思路点拔】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴6＜r＜10，
∴r的值可能是8．
故选：B．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，那么这个三角形的外接圆的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【思路点拔】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．
解：∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴BA10（cm），
∴其外接圆的半径为5cm．
故选：B．
4．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【思路点拔】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．结合∠BAC＝70°即可求出∠BOC的度数．
解：∵对的圆心角为∠BOC，对的圆周角为∠BAC，∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°．
故选：C．
5．（3分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．15π C．20π D．25π
【思路点拔】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．
解：圆锥的侧面积2π×4×5＝20π，
故选：C．
6．（3分）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．15πcm
【思路点拔】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
解：根据题意得：l9π（cm），
则重物上升了9πcm，
故选：B．
7．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
【思路点拔】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R28．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【思路点拔】由⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E，得BE＝BD，AO平分∠BAC，则∠BDE（180°﹣∠B），∠DAO∠BAC，所以∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B﹣∠BAC）∠ACB＝35°，于是得到问题的答案．
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E，
∴BE＝BD，AO平分∠BAC，
∴∠BDE＝∠BED（180°﹣∠B），∠DAO∠BAC，
∴∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B）∠BAC（180°﹣∠B﹣∠BAC），
∵180°﹣∠B﹣∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴∠AFD70°＝35°，
故选：A．
9．（3分）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
【思路点拔】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，
所以，S阴影部分＝3＝3（cm2），
故选：C．
10．（3分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的中点，CD⊥AB于点D．“会圆术”给出长l的近似值计算公式：，若l＝1.5，∠AOB＝90°，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OD，由的中点，CD⊥AB于点D知AD＝BD，C，D，O共线，解直角三角形得OAOD，ABOA，即得CD＝OC﹣OD＝OA﹣OD＝（）OD，OD＝（）CD，，故1.5＝2（）CD，解方程即可．
解：连接OD，如图：
∵C是的中点，CD⊥AB于点D，
∴C，D，O共线，AD＝BD，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，AB＝2OD，
∴AD＝ODOA，
∴OAOD，
∴CD＝OC﹣OD＝OA﹣OD＝（）OD，
∴OD＝（）CD，
∴AB＝2OD＝2（）CD，
∵l＝1.5，l＝AB，
∴1.5＝2（）CD，解得CD＝1．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝6，则弦BC的长为 ．
【思路点拔】连接OA交BC于D，利用圆周角定理得到，再证明，则根据垂径定理得到OA⊥BC，BD＝CD，然后在Rt△ADC中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出，从而得到BC的长．
解：如图，连接OA交BC于D，
∵∠AOB＝60°，
∴，
∵AB＝AC＝6，
∴，
∴OA⊥BC，BD＝CD，
在Rt△ADC中，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 6π （结果保留π）．
【思路点拔】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
解：由题意得，∠HAB135°，AH＝AB＝4，
∴S阴影部分6π，
故答案为：6π．
13．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，∠P＝42°，则∠BOC＝ 42° ．
【思路点拔】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°得到∠AOB＝180°﹣∠P，进而得到∠BOC＝∠P＝42°．
解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∵∠AOB＝180°﹣∠BOC，
∴∠BOC＝∠P＝42°，
故答案为：42°．
14．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 10 ．
【思路点拔】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故答案为：10．
15．（3分）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【思路点拔】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可．
解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠E120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE30°，
∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，
∴BMAB＝3，
∴BF＝2BM＝6，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
2πr，
解得r．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．
【思路点拔】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE＝DE，故可得出结论．
证明：过点O作OE⊥AB，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE+DE＝BE+CE，即AD＝BC．
17．（6分）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
【思路点拔】想办法证明即可．
证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴AD＝BC．
18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．
【思路点拔】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDA＝60°，求得△AOC是等边三角形，推出四边形ACDO是菱形，得到CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝1．
解：（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．
20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
【思路点拔】（1）证明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB；
（2）求出AB和BC的长，即可求出AC的长．
解：（1）证明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF，
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝12，求AD的长；
（3）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）连接OC，AC＝CD，∠ACD＝120°得∠A＝∠D＝30°，根据圆周角定理求得∠COD＝2∠A＝60°，则∠OCD＝90°，可证得CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，由∠OCD＝90°，∠D＝30°得OD＝2OC＝2r，在Rt△DOC中根据勾股定理列方程求出r的值，即可求出AD的长；
（3）在Rt△DOC中根据勾股定理列方程求出CD的长，而∠COB＝60°，由S阴影＝S△COD﹣S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．
（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝90°，
∴CD⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：如图，设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，
∵∠OCD＝90°，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝2r，
∵OC2+CD2＝OD2，且CD＝AC＝12，
∴r2+122＝（2r）2，
解得r＝4或r＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴OD＝2×48，OA＝4，
∴AD＝OD+OA＝8412．
（3）解：如图，∵⊙O的半径为3，
∴OC＝3，
∵∠OCD＝90°，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD3，
∵∠COB＝60°，
∴S阴影＝S△COD﹣S扇形COB33π×32．
22．（10分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，交于点D，交AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）猜想线段BC，BF的数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．
解：（1）①如图，直线DE，线段AD，线段CD即为所求．
②如图，点F，线段CD，BD，BF即为所求作．
（2）结论：BF＝BC．
理由：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD＝DF，
∴DF＝DC，，
∴∠DBC＝∠DBF，
∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°，
∴∠DFB＝∠DCB，
在△DFB和△DCB中，
，
∴△DFB≌△DCB（AAS），
∴BF＝BC．
23．（11分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．
（1）求证：△AOE≌△CDE；
（2）求证：四边形OBCD是菱形；
（3）若CF平分∠ACB交⊙O于点F，∠A＝30°，BC＝4，求CF的长度．
【思路点拔】（1）直接利用“SAS”证明△AOE≌△CDE即可；
（2）结合全等三角形的性质以及圆的性质，证明AB∥CD，OB＝DC，易得四边形OBCD为平行四边形，进而证明四边形OBCD为菱形；
（3）连接BF，过点B作BH⊥CF于点H，首先证明△BCH为等腰直角三角形，利用勾股定理可解得；再利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得∠BFC＝30°，在Rt△BFH中，易得，，然后由CF＝CH+FH求解即可．
解：（1）证明：在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）证明：∵△AOE≌△CDE，
∴∠AOE＝∠CDE，OA＝DC，
∴AB∥CD，
又∵OB＝OA，
∴OB＝DC，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD为菱形；
（3）解：如图，连接BF，过点B作BH⊥CF于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴，
∵BH⊥CF，
∴∠CBH＝90°﹣∠BCH＝45°，
∴∠CBH＝∠BCH，
∴BH＝CH，
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝2CH2＝42＝16，
∴，
∵∠A＝30°，，
∴∠BFC＝∠A＝30°，
在Rt△BFH中，，
∴，
∴．
24．（12分）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
（1）现在需要制作一个r＝10cm，l＝30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
（2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【思路点拔】（1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可；
（2）连接AA′，过点P作PH⊥AA′，线段AA′就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解．
解：（1）∵r＝10cm，l＝30cm，
∵，
∴，
∴扇形纸板的圆心角度数为120°；
（2）如图所示．连接AA′，过点P作PH⊥AA′，线段AA′就是彩带长度的最小值，
由（1）得PA＝PA′＝30cm，∠APA′＝120°，
∴∠APH＝∠A′PH＝60°，AH＝A′H，
∴，
∴，
∴彩带长度的最小值为．
