中小学教育资源及组卷应用平台
《位似+相似》提升训练题
一．选择题（共47小题）
1．图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
2．关于对位似图形的4个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各组图形中不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
6．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
7．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
8．△ABC中，AB＝6，BC＝8，CA＝12，已知与△ABC相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（ ）
A．8 B．10 C． D．12
9．如果△ABC∽△DEF，其面积比为9：16，则它们的周长比为（ ）
A．4：3 B．1：3 C．9：16 D．3：4
10．已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
11．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：4.5 D．1：8
12．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81
13．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．
14．关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形的对应角相等
B．相似三角形的对应边相等
C．相似三角形周长的比等于相似比的平方
D．相似三角形面积的比等于相似比
15．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，BC＝8cm，那么△ADE的周长等于（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm
16．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．1：8
17．若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们对应角的平分线之比为（ ）
A． B． C． D．
18．有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
A． B． C．21 D．28
19．若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF的周长的比为（ ）
A．3：1 B．6：1 C．9：1 D．12：1
20．已知△ABC∽△A1B1C1，且．若△ABC的面积为8，则△A1B1C1的面积是（ ）
A． B．9 C．12 D．18
21．若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．30° B．56° C．86° D．94°
23．若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81
24．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＝∠C′ B．S△ABC＝2S△A′B'C'
C．AC＝4A'C' D．A'B′＝6
25．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（ ）
A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
26．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD＝2．若△ABC和△ADE相似，则AE＝（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
27．如图，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝AC AD B．AB2＝AC BD
C．AB AD＝BC BD D．AB AD＝AD CD
28．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（ ）
A．80° B．90° C．110° D．120°
29．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：1
30．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5、12、13，△DEF的最短边长为25，则△DEF的最长边长为（ ）
A．17 B．18 C．25 D．65
31．如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们对应边之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
32．如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．9：4 B．3：2 C．2：3 D．81：16
33．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
34．如图，BD是 ABCD的对角线，BD⊥AD，AB＝2AD＝6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE 是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
35．△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，下面给出的四个结论中，正确的结论有（ ）
①，
②，
③，
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．108
37．若两个相似三角形的对应边之比为4：5，则这两个相似三角形对应中线的比为（ ）
A．4：5 B．16：5 C．16：25 D．8：10
38．若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．不能确定
39．两个相似三角形对应边之比为2：3，那么它们的对应中线之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
40．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
41．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分别是BC，CD上的点，CQ＝4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）
A．3或 B．3或12
C．3、12或 D．3、12或
42．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
43．如图，已知点D、E分别是AB、AC边上的点，且△ADE∽△ABC，相似比为1：3，AG⊥BC交DE于点F，则AF：AG＝（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
44．两个相似三角形的对应边上的中线比为1：，则它们面积比的为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．1： D．：1
45．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）
A． B． C．或4 D．或4
46．若两个相似三角形的对应高的比为3：5，则它们对应周长的比为（ ）
A．3：5 B．9：25 C．1：3 D．1：5
47．如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，△ADE∽△ABC．如果AD：AB＝4：7，则DE：BC的值为（ ）
A．16：49 B．4：7 C．4：14 D．8：7
二．填空题（共3小题）
48．给出下列结论：
①三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点；
②圆内接四边形的对角相等；
③圆心角为120°，半径为4的扇形的面积是；
④在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，它与原图形的相似比为3，那么与原图形上的点P（1，2）对应的位似图形上点P'的坐标为（3，6）或（﹣3，﹣6）．
其中正确的结论是 （填写正确结论的编号）
49．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是边AB上一点，且AD＝2，如果点E在边AC上，且△ADE与△ABC相似，那么AE＝ ．
50．已知△ABC∽△DEF，相似比为，且△DEF的周长为18，则△ABC的周长为 ．
三．解答题（共10小题）
51．如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
52．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
53．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CGCD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
54．如图，△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3．
（1）求AC的长；
（2）若CD平分∠ACB，求DC的长．
55．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
56．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，AC＝2，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似．
（1）求AD的长；
（2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比．
57．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
58．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的长．
59．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD AB，AC＝AE，过点D作DF∥CE交边AC于点F．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求证：AE EB＝AB FC．
60．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，且AD＝AC，联结CE并延长交AB于点F．
（1）求证：△ABC∽△DCE；
（2）求证：BF＝4EF．中小学教育资源及组卷应用平台
《位似+相似》提升训练题
一．选择题（共47小题）
1．图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【思路点拔】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似图形，
故选：D．
2．关于对位似图形的4个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．
解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；
位似图形一定有位似中心，②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，③错误；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．
故选：A．
3．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．
解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：C．
4．下列各组图形中不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解：根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，
B与C的位似中心是交点，A的为中心是圆心；D不是位似图形．
故选：D．
5．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
【思路点拔】位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行；两个位似图形的位似比就是相似比；两个相似图形不一定是位似图形．
解：根据位似图形变换性质知：
位似是相似的特殊形式；
A、两个位似图形一定相似，故正确；
B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，故正确；
C、两个位似图形的位似比就是相似比，故正确；
D、两个相似图形不一定是位似图形，故错误．
故选：D．
6．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【思路点拔】利用位似图形的定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故原命题错误，不符合题意；
②位似图形一定有位似中心，正确，符合题意；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，那么这两个图形是位似图形，正确，符合题意；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，错误，不符合题意，
故选：A．
7．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
【思路点拔】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．
解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；
位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．
位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．
故选：A．
8．△ABC中，AB＝6，BC＝8，CA＝12，已知与△ABC相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（ ）
A．8 B．10 C． D．12
【思路点拔】直接利用相似三角形的性质对应边成比例，进而得出答案．
解：∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，CA＝12，与△ABC相似的三角形的最长边是16，
∴设其最短边是x，则，
解得：x＝8．
故选：A．
9．如果△ABC∽△DEF，其面积比为9：16，则它们的周长比为（ ）
A．4：3 B．1：3 C．9：16 D．3：4
【思路点拔】直接根据相似三角形的性质作答即可．
解：∵△ABC∽△DEF，其面积比为9：16，
∴相似比为3：4，
∴它们的周长比为3：4，
故选：D．
10．已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
【思路点拔】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝3：6＝1：2，
∵△ABC的周长为20，
∴△DEF的周长为40．
故选：C．
11．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：4.5 D．1：8
【思路点拔】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．
解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，
∴这两个相似三角形的相似比是1：3，
∴它们的周长比是1：3；
故选：B．
12．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81
【思路点拔】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．
解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴它们对应边上的中线之比为1：3．
故选：C．
13．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．
【思路点拔】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可．
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线的比为1：4．
故选：A．
14．关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形的对应角相等
B．相似三角形的对应边相等
C．相似三角形周长的比等于相似比的平方
D．相似三角形面积的比等于相似比
【思路点拔】根据相似三角形的性质，即可判断．
解：A、相似三角形的对应角相等，故此选项正确；
B、相似三角形的对应边成比例，故此选项错误；
C、相似三角形周长的比等于相似比，故此选项错误；
D、相似三角形面积的比等于相似比的平方，故此选项错误．
故选：A．
15．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，BC＝8cm，那么△ADE的周长等于（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm
【思路点拔】根据三角形相似得到相似比，从而求出周长．
解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，
∴其周长比为1：4，
∵BC＝8cm，三角形ABC为等边三角形，
∴△ABC的周长为24cm，
∴△ADE的周长为6cm．
故选：C．
16．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．1：8
【思路点拔】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得答案．
解：∵相似三角形的周长之比是1：4，
∴对应边之比为1：4，
∴这两个三角形的面积之比是：1：16，
故选：C．
17．若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们对应角的平分线之比为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应角的平分线的比等于相似比计算即可．
解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应角的平分线之比为2：3，
故选：A．
18．有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
A． B． C．21 D．28
【思路点拔】根据题意求出三角形的周，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可．
解：设另一个直角三角形的周长为x，
三角形的边长分别为3，4，5，
则周长为：3+4+5＝12，
∵两个三角形相似，
∴，
解得：x＝28，
故选：D．
19．若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF的周长的比为（ ）
A．3：1 B．6：1 C．9：1 D．12：1
【思路点拔】利用相似三角形的周长比等于相似比即可解决问题．
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC与△DEF的周长的比为3：1．
故选：A．
20．已知△ABC∽△A1B1C1，且．若△ABC的面积为8，则△A1B1C1的面积是（ ）
A． B．9 C．12 D．18
【思路点拔】根据相似三角形面积比等于边长之比的平方的性质，即可解答．
解：∵△ABC∽△A1B1C1，且，
∴，
∵△ABC的面积为8，
∴．
故选：D．
21．若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】两个相似三角形对应中线的比与对应高的比相等，都等于相似比；本题已知两相似三角形对应中线的比，故可直接得到对应高的比，据此解答．
解：因为两个相似三角形对应高的比与对应中线的比相等，
所以它们对应边上的高之比为．
故选：B．
22．如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．30° B．56° C．86° D．94°
【思路点拔】根据△AOD∽△COB，则∠A＝∠C，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
解：∵△AOD∽△COB，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝56°，
∴∠C＝56°，
∵∠AOC＝∠B+∠C，∠B＝30°，
∴∠AOC＝30°+56°＝86°．
故选：C．
23．若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81
【思路点拔】直接利用相似三角形的性质求解．
解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，
∴△ABC与△DEF的周长比为4：9．
故选：C．
24．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＝∠C′ B．S△ABC＝2S△A′B'C'
C．AC＝4A'C' D．A'B′＝6
【思路点拔】根据相似三角形的性质解答即可．
解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，
∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC4，AC＝2A'C'，A'B'AB6．
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
25．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（ ）
A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
【思路点拔】根据相似三角形的性质解答即可．
解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴（）2，
∴S△ABC＝4S△ADE，S四边形BEDC＝3S△ADE，
∴S四边形BEDC：S△ABC＝3：4．
故选：B．
26．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD＝2．若△ABC和△ADE相似，则AE＝（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
【思路点拔】根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解．
解：①如图所示，△ABC∽△ADE，
∴，AB＝6，AC＝9，AD＝2，
∴；
②如图所示，△ABC∽△AED，
∴，
∴，
综上所述，AE的长为3或，
故选：D．
27．如图，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝AC AD B．AB2＝AC BD
C．AB AD＝BC BD D．AB AD＝AD CD
【思路点拔】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
解：∵△ABC∽△DBA，
∴，
∴AB2＝AC AD．
故选：A．
28．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（ ）
A．80° B．90° C．110° D．120°
【思路点拔】利用三角形内角和定理求出∠C，根据相似三角形的性质可得答案．
解：∵∠A＝35°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠F＝∠C＝80°，
故选：A．
29．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：1
【思路点拔】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．
解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为1：9
∴它们对应边上的中线之比为1：3．
故选：C．
30．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5、12、13，△DEF的最短边长为25，则△DEF的最长边长为（ ）
A．17 B．18 C．25 D．65
【思路点拔】根据相似三角形的性质即可解答．
解：∵△ABC的最短边是5，最长边是13；△DEF的最短边是25，
∵△ABC∽△DEF，
∴相似比是5，
∴△DEF的最长边是13×5＝65．
故选：D．
31．如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们对应边之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【思路点拔】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴它们的对应边的比＝1：4．
故选：B．
32．如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．9：4 B．3：2 C．2：3 D．81：16
【思路点拔】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．
解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，
∴相似比是3：2，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为 3：2．
故选：B．
33．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【思路点拔】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故选：D．
34．如图，BD是 ABCD的对角线，BD⊥AD，AB＝2AD＝6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE 是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【思路点拔】当PD＝PE时，如图①，过点P作PG⊥DE于点G，则．当DE＝DP＝3时，如图2，当ED＝EP＝3时，点P与点B重合，国家相似三角形的性质即可得到结论．
解：当PD＝PE时，过点P作PG⊥DE于点G，∴．
∵BD⊥AD，AB＝2AD＝6，
∴△ABD 是直角三角形．∠PDG＝∠ABP＝30°，，PD＝2PG．
∴，，，
又∵△ABD∽△PBF，
∴∠PFB＝∠ADB＝90°，
∴，
当DE＝DP＝3时，则PB＝BD﹣PD＝33，
∴，
∴，
当ED＝EP＝3时，点P与点B重合，不存在这种情况．
综上所述，PF的长为或．
故选：C．
35．△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，下面给出的四个结论中，正确的结论有（ ）
①，
②，
③，
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据相似三角形的性质，即可求解．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，
∴，，故①②正确； ④错误；
，故③错误；
故选：B．
36．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．108
【思路点拔】先根据一个三角形的三边长分别为3，4，5，可判定此三角形为直角三角形，进而求出其面积，与其相似的三角形的最长的边为15求出其相似比，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得较大的三角形的面积．
解：∵32+42＝52，
∴三边长为3，4，5的三角形是直角三角形，面积3×4＝6，
两个三角形的相似比为3，
则两个三角形的面积比为，
∴较大的三角形的面积为6×9＝54，
故选：C．
37．若两个相似三角形的对应边之比为4：5，则这两个相似三角形对应中线的比为（ ）
A．4：5 B．16：5 C．16：25 D．8：10
【思路点拔】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．
解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，
∴它们对应中线的比为4：5，
故选：A．
38．若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．不能确定
【思路点拔】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，
∴这两个三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为4：9；
故选：B．
39．两个相似三角形对应边之比为2：3，那么它们的对应中线之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【思路点拔】两个相似三角形对应中线的比与对应周长的比相等，都等于相似比，据此解答．
解：因为两个相似三角形的相似比与对应中线的比相等，
所以它们对应中线之比为2：3．
故选：A．
40．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【思路点拔】利用相似三角形的性质求解即可．
解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵CB，
∴DE．
故选：A．
41．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分别是BC，CD上的点，CQ＝4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）
A．3或 B．3或12
C．3、12或 D．3、12或
【思路点拔】由△ABP与△PCQ相似，∠B＝∠C＝90°，分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解．
解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝9，BC＝AD＝15，
∵△ABP与△PCQ相似，
∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：
①当△ABP∽△PCQ时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，
∴，即，
解得：x＝3或x＝12，
②当△ABP∽△QCP时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，
∴，即，
解得：，
综上所述，BP的长为3或12或．
故选：D．
42．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】证明△ABC∽△EDF，根据相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．
解：根据勾股定理求得：AB，AC，DE，FD，
，
∴△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
43．如图，已知点D、E分别是AB、AC边上的点，且△ADE∽△ABC，相似比为1：3，AG⊥BC交DE于点F，则AF：AG＝（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【思路点拔】直接利用相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比即可得出答案．
解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∵AG⊥BC，
∴AF⊥DE，
∵相似比为1：3，
∴，
即AF：AG＝1：3．
故选：A．
44．两个相似三角形的对应边上的中线比为1：，则它们面积比的为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．1： D．：1
【思路点拔】三角形的面积比等于其相似比平方比，而对应中线的比即为其相似比，进而可求解结论．
解：∵相似三角形对应边上的中线的比为1：，即相似比为1：，
而相似三角形的面积比等于其相似比的平方比，
∴其面积比为1：2．
故选：B．
45．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）
A． B． C．或4 D．或4
【思路点拔】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，，
又因为AB＝AC＝6，BC＝8，B′F＝BF，
所以 ，
解得BF；
②△B′CF∽△BCA时，，
又因为AB＝AC＝6，BC＝8，B′F＝CF，BF＝B′F，
又BF+FC＝8，即2BF＝8，
解得BF＝4．
故BF的长度是或4．
故选：C．
46．若两个相似三角形的对应高的比为3：5，则它们对应周长的比为（ ）
A．3：5 B．9：25 C．1：3 D．1：5
【思路点拔】根据相似三角形对应高的比，周长的比等于相似比，即可求解．
解：∵两个相似三角形的对应高的比为3：5，
∴两个相似三角形的相似比为3：5，
∴它们对应周长的比为3：5，
故选：A．
47．如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，△ADE∽△ABC．如果AD：AB＝4：7，则DE：BC的值为（ ）
A．16：49 B．4：7 C．4：14 D．8：7
【思路点拔】根据相似三角形的对应边的比相等直接写出答案即可．
解：∵△ADE∽△ABC．如果AD：AB＝4：7，
∴DE：BC＝AE：AC＝AD：AB＝4：7，
故选：B．
二．填空题（共3小题）
48．给出下列结论：
①三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点；
②圆内接四边形的对角相等；
③圆心角为120°，半径为4的扇形的面积是；
④在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，它与原图形的相似比为3，那么与原图形上的点P（1，2）对应的位似图形上点P'的坐标为（3，6）或（﹣3，﹣6）．
其中正确的结论是 ①③④ （填写正确结论的编号）
【思路点拔】根据三角形的重心的概念、圆内接四边形的性质、扇形面积公式、位似变换的性质判断，得到答案．
解：三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点，①正确；
圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②错误；
圆心角为120°，半径为4的扇形的面积，③正确；
以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，它与原图形的相似比为3，那么与原图形上的点P（1，2）对应的位似图形上点P'的坐标为（1×3，2×3）或（﹣1×3，﹣2×3），即（3，6）或（﹣3，﹣6），④正确；
故答案为：①③④．
49．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是边AB上一点，且AD＝2，如果点E在边AC上，且△ADE与△ABC相似，那么AE＝ 或 ．
【思路点拔】分两种情况，由相似三角形的性质可求解．
解：∵△ADE与△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
∴，或，
∴或，
解得：AE，或AE，
故答案为：或．
50．已知△ABC∽△DEF，相似比为，且△DEF的周长为18，则△ABC的周长为 12 ．
【思路点拔】设△ABC的周长为a，根据相似三角形的性质得出，再求出a即可．
解：设△ABC的周长为a，
∵△ABC∽△DEF，相似比为，△DEF的周长为18，
∴，
解得：a＝12，
所以△ABC的周长是12，
故答案为：12．
三．解答题（共10小题）
51．如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
【思路点拔】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，
∴∠ADC＝35°+35°＝70°；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AD＝3，BD＝5，
∴，
解得：AC＝2．
52．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【思路点拔】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
53．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CGCD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
【思路点拔】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CGCD，可得AB＝CG，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．
（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CGCD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE，
即BE，
∵△AEB∽△DEC，
∴，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
54．如图，△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3．
（1）求AC的长；
（2）若CD平分∠ACB，求DC的长．
【思路点拔】1）根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入比例式求出AC；
（2）根据相似三角形的性质得到∠ACD＝∠B，根据角平分线的性质、等腰三角形的判定定理求出DC．
（1）解：∵△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3，
∴，AB＝5，即，
∴．
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠B，
∴DC＝BD＝3．
55．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
【思路点拔】先根据相似三角形的性质求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，即，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
EF．
56．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，AC＝2，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似．
（1）求AD的长；
（2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比．
【思路点拔】（1）根据勾股定理求出BC，分△ABD∽△ACB、△ABD∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，AC＝2，
∴BC，
当△ABD∽△ACB时，，即，
解得：AD＝3；
当△ABD∽△BCA时，，即，
解得：AD＝3；
（2）当△ABD∽△ACB时，面积比＝（）2；
当△ABD∽△BCA时，面积比＝（）2＝3，
则△ABD与△ABC的面积比为或3．
57．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
【思路点拔】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A＝48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得，可得结论．
解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CDBD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴，
∴CDBD．
58．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的长．
【思路点拔】（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）作DH⊥BA交BA的延长线于H，然后根据勾股定理和直角三角形的性质即可求出BD的长．
解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，△ADE∽△ABC，
∴AD＝AE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，
∴∠DAH＝30°，
∵∠H＝90°，AD＝4，
∴DH＝2，AH＝2，
∴BH＝AH+AB＝4
在Rt△BDH中，BD．
59．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD AB，AC＝AE，过点D作DF∥CE交边AC于点F．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求证：AE EB＝AB FC．
【思路点拔】（1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解；
（2）根据平行线分线段成比例定理求出DE＝FC，根据比例性质及等量代换求解即可．
证明：（1）∵AC2＝AD AB，
∴，
又∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
（2）∵DF∥CE，
∴，
∵AC＝AE，
∴DE＝FC，
∴AC＝AE＝AB﹣DE，AD＝AE﹣DE＝AE﹣FC，
∵，
∴，
∴AB AE﹣BE AE＝AB AE﹣AB FC，
∴AE EB＝AB FC．
60．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，且AD＝AC，联结CE并延长交AB于点F．
（1）求证：△ABC∽△DCE；
（2）求证：BF＝4EF．
【思路点拔】（1）由相似三角形的判定可得结论；
（2）由三角形中位线定理可得DH∥AB，可得△AFE∽△DHE，可证EF＝EH，可得CF＝4EF，由相似三角形的性质可得∠B＝∠DCE，可得BF＝CF＝4EF．
证明：（1）∵点D、E分别是BC、AD的中点，
∴BC＝2CD，DA＝2DE，
∵AD＝AC，
∴AC＝2DE，∠ADC＝∠ACD，
∴2，
∴△ABC∽△DCE；
（2）取FC的中点H，连接DH，
∵点H是CF的中点，
∴FH＝CH，
又∵BD＝CD，
∴DH∥AB，
∴△AFE∽△DHE，
∴1，
∴EF＝EH，
∴FH＝2EF，
∴FC＝4EF，
由（1）可知：△ABC∽△DCE，
∴∠B＝∠DCE，
∴BF＝CF，
∴BF＝4EF．
