3.2.3 函数的对称性、周期性、凸凹性学案（无答案）2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

§3.2.3函数的对称性、周期性、凸凹性
¤学习目标
1. 了解函数对称性、周期性与凸凹性的含义.
2. 了解函数奇偶性、单调性和对称性、凸凹性、周期性之间的联系.
3. 利用函数性质能解决相关的简单问题．
¤知识要点
一、函数的对称性：对于函数f(x)，使得定义域内任意x，都有
(1) f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于 对称．
(2) f(a＋x)＝f(b－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于 对称．
(3) f(a＋x)＝－f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于 对称．
(4) f(a＋x)＝－f(b－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于 对称．
(5) f(a＋x)+f(b－x) ＝ c成立，则函数y＝f(x)的图象关于 对称．
二、函数的周期性：
1. 函数f(x) 的周期是T ，都有 （T是非零常数）
2. 函数f(x)的最小正周期：f(x)的所有周期中的最小正数．
3. 求函数周期的方法：
①定义法：，f(x＋T)＝f(x) 函数f(x) 的周期是T（T是非零常数）
②公式法：函数y＝Asin(ωx＋)+B(ω≠0)的最小正周期：T＝；
函数y＝Acos(ωx＋)+B (ω≠0)的最小正周期：T＝；
函数y＝Atan(ωx＋)+B (ω≠0)的最小正周期：T＝．
③图象法：
④周期常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x
(i)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝ ； (ii)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝ ；
(iii)若f(x＋a)＝，则T＝ ； (iv)若f(x＋a)＝－ ，则T＝ .
⑤双对称的周期：
(i)两条对称轴：
若函数f(x)的图象关于x=a，x=b对称，则f(x)的最小正周期是 .
(ii)两个对称中心：
若函数f(x)的图象关于（a，0），（b，0）对称，则f(x)的最小正周期是 .
(iii) 一条对称轴+一个对称中心：
若函数f(x)的图象关于x=a，（b，0）对称，则f(x)的最小正周期是 .
三、函数的凸凹性：设函数y＝f(x) 在区间D上连续，，
(1)函数f(x)的图形是凹的 (2)函数f(x)的图形是凸的
¤典型例题
【例1】若函数f(x)＝x2－mx＋3，满足f(1＋x) = f(1－x)，求实数m的值.
【变1】若函数f(x)＝|x＋m|，满足f(1＋x) = f(3－x)，求实数m的值.
【变2】若函数f(x)＝，满足f(1＋x) =－ f(1－x)，求实数m的值.
【变3】若函数f(x)＝，满足f(m＋x)＋ f(1－x) = n，求m＋n的值.
【例2】定义在R上函数f(x)，当x∈（0，2] 时，函数f(x)＝(x－1)2
(1) 若函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，求f(2025)的值.
(2) 若奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，求f(2024)+f(－2025)的值.
(3) 若偶函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且方程f(x)＝ax有三个不相等的实数根，
求实数a的取值范围.
(4) 若奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈（2026，2028] 时，
判断与的大小关系.