第二章 直线和圆的方程 综合测试题（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程综合测试题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
2．过直线和圆的交点，且取得最小面积的圆的方程是(　　)
A．
B．
C．
D．
3．已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
4．已知直线与圆交于，两点，若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是1
D．过与直线平行的直线方程是
6．如图所示，三条直线，，，且三条直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆恒相交
C．y轴被圆C截得的弦长为
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为
8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线上l的一点，过P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．当取得最大值时，
B．当取得最小值时，
C．四边形PMCN的面积的最小值为
D．O点到直线MN的距离的最大值为1
三、填空题
9．已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－1)，则m=
10．若直线与直线平行，则实数a的值是 .
11．已知直线与直线互相垂直，则 ．
12．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．
四、解答题
13．已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点.
(1)求圆的方程；
(2)判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程.
14．已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
15．已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为．
16．已知圆，直线:，圆与轴相交于点（如图），点是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点．
（1）若过点的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C D B BCD ABD
1．D
【分析】
根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，，
结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.
故选：D.

2．C
【分析】根据几何知识可知，以直线和圆的交点弦为直径的圆的面积最小，即可解出．
【详解】设直线和圆相交于点，
则以为直径的圆的面积最小，
联立，
得，
则，
则圆心的横坐标为，纵坐标为，
该圆的半径为，即为，
圆心距，所以，
即所求圆的方程为，即．
故选：C.
3．B
【分析】根据点到直线的距离公式，根据圆心到直线的距离与半径的大小进行判断即可.
【详解】圆心到直线的距离，
因为，
即，所以圆与直线的位置关系是相交，
故选：B
4．C
【分析】依题意得这条直径所在的直线与直线垂直，又经过原点即可求解直线方程．
【详解】若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线与直线垂直，
故这条直径所在的直线的斜率为，圆的圆心为
所以这条直径所在的直线方程为，化为．
故选：C
5．D
【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D．
【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确；
直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确；
点到直线的距离是：，所以C不正确；
过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确；
故选：D．
6．B
【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.
【详解】由图可知：,,,
且直线的倾斜角小于直线的倾斜角,所以,
综上可知：.
故选：B.
7．BCD
【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案.
【详解】对于A，由，则，
令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
对于B，由，则圆心，半径，
，故B正确；
对于C，令，整理圆的方程为，解得，
轴被圆截得的弦长为，故C正确；
对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，
由直线的斜率，直线的斜率，且，
则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确.
故选：BCD.
8．ABD
【分析】对于A，当取得最大值时，直线AM与圆C相切，根据计算即可判断；对于B，当取得最小值时，直线AM与圆C相切，根据计算即可判断；对于C，可计算，根据点线距离求得即可判断；对于D，设，先求得以PC为直径的圆的方程，两圆方程相减可得直线MN的方程，进而可知直线MN恒过定点，从而可得当时，O到直线MN的距离的最大值，求解即可.
【详解】
易得，，圆心，半径.
对于A，当取得最大值时，直线AM与圆C相切，此时，故A正确；
对于B，当取得最小值时，直线AM与圆C相切，此时，故B正确；
对于C，因为四边形PMCN的面积，
又，所以，而，
所以四边形PMCN的面积的最小值为，故C错误；
对于D，设，所以以PC为直径的圆的方程为，又圆C：，
所以两圆方程相减可得直线MN的方程为，
即，令，解得，
所以直线MN恒过定点，
所以当时，O到直线MN的距离的最大值为，此时，故D正确．
故选：ABD．
9．1
【分析】由倾斜角为90°的直线方程的特点即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为90°且过点A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程为，
所以，解得.
故答案为：1
10．.
【分析】由已知结合直线平行的条件即可直接求解.
【详解】解：∵直线与直线平行，
故，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了直线平行的条件的应用，属于基础题.
11．
【分析】由两条直线互相垂直，可知两条直线的斜率之积为，进而求得参数的值．
【详解】斜率为
直线斜率为
两直线垂直，所以斜率之积为，即
所以
故答案为：．
12．
【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率.
【详解】设点为角终边上一点，如图所示，．
由三角函数的定义可知： ， ，
则，则直线的倾斜角为，
将点绕原点逆时针旋转到点，
得直线的倾斜角为，
且点在角的终边上，由三角函数定义可得点的坐标为，
即，且，则．
故答案为：．
13．(1)
(2)点在圆外，切线方程为或
【分析】（1）由已知条件确定圆心坐标和半径，可求圆的方程；
（2）由点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径求切线方程.
【详解】（1）圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上，
又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为2，
所以圆的方程为.
（2），则点在圆外，
过点的直线若斜率不存在，则直线方程为，此时直线与圆相切；
过点的直线若斜率存在，设直线方程为，即，
当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径，即，解得，
此时直线方程为.
所以经过点的圆的切线方程为或.
14．(1)(x－1)2＋y2＝1
(2)x2＋y2－x－y－1＝0
【详解】（1）设线段AP的中点为M(x，y).
由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y).
∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
（2）设线段PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0.
∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
15．选①，；选②，.
【分析】选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.
【详解】因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为．
若选①，可设直线l的方程为，
点代入方程可得，即l：．
在直线l上取两点和，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为．
若选②，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为，即．
16．（1）或（2）
【分析】（1）由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离，设直线的方程为， 由 解得，又过点且与轴垂直的直线显然符合要求，故满足题意的直线应为两条；
（2）方法1：联立 得点 ，问题得证；
方法2：设点的坐标为，分 ，，两组情况讨论得证；
方法3：设点的坐标为, 则，则由三点、、三点共线及直线的方程得点，表示出 ，可证为定值
【详解】（1）因直线与圆相交所得弦长等于，所以圆心到直线的距离
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
由 解得，直线方程为,
当直线的斜率不存在时，直线显然符合要求
所以直线的方程是或
（2）方法1：设点的坐标为，则直线的方程为
由,解得
从而得点，
所以
方法2：设点的坐标为，
若，则，

所以
当时，同理可得
所以为定值
方法3：设点的坐标为, 则
、、三点共线，则即
即点，则
所以