河南省南阳市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（ ）
A．3 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（ ）
A． B．
C．点的坐标为 D．点的坐标为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率
C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
D．为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．
13．已知是圆上的一个动点，则的取值范围为______．
14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知的顶点坐标为．
（1）若点是边上的中点，求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程．
16．（本小题满分15分）
已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．
（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程．
17．（本小题满分15分）
已知点，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．
19．（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．
2024~2025学年度10月质量检测·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又，．故选 C．
2．D 由题意有，解得．
3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．
4．B 圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为．故选B．
5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．
6．A 由，可得．
7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得．故选C．
8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．
9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．
10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有，有，得，点的坐标为．
11．ABC 由题意得，对于选项A：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则（舍去），又，故A正确；
则，离心率为，故B正确；
对于选项C：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C正确；
对于选项D：设，则，渐近线方程是，则，为常数，故D错误．故选ABC．
12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．
13． 表示点到原点的距离，由，有，可得，故的取值范围为．
14． 设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有，可得．
15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；
（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．
16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，
设抛物线的方程为，则，所以，
所以抛物线的方程为，
故；
（2）设点的坐标分别有，可得
有，可得，有，可得直线的斜率为，
故直线的议程为，整理为．
17．解：（1）由得，
，
整理得，
故动点的轨迹的方程为；
（2）点的坐标为且圆与轴相切，
圆的半径为，
圆的方程为，
圆与圆两圆心的距离为，
圆与圆有公共点，
，
即，
解得，
所以实数的取值范围是．
18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，
将点代入双曲线的方程，有，
联立方程解得
故双曲线的标准议程为；
（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．
设直线的方程为，
联立方程解得，
联立方程解得，
可得，
联立方程消去后整理为，
有，可得，
由，可知线段和共中点，故有．
19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，
解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设点的坐标为（其中，），有，可得，
直线的方程为，整理为，
直线的方程为，整理为，
直线的方程为，
联立方程，解得：，故点的横坐标为，
直线的方程为，
联立方程，解得：，故点的横坐标为，
又由
，
故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．