2024-2025学年福建省龙岩市龙岩一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合中有且只有一个元素，则值的集合是( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A. 或 B.
C. D. 或
4.若是上周期为奇函数，且满足，，则( )
A. B. C. D.
5.若定义运算，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.某观光种植园开设草莓自搞活动，使用一架两臂不等长的天平称重一顾客欲购买的草莓，服务员先将的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客你认为顾客购得的草莓是( )
A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定
7.已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足：，当时，有，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.若不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 关于的不等式解集为
D. 关于的不等式解集为
11.若定义在上且不恒为零的函数满足：对于，，总有恒成立，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 是偶函数 D. ，则周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作若，，则 ______．
13.已知，，且，则的最小值为______．
14.已知函数，且函数是偶函数，则函数在区间的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知集合，．
若，求的值；
若，求的取值范围．
16.本小题分
设命题：函数在区间上单调递增；命题：，不等式成立．
若命题的否定为真命题，求实数的取值范围；
若命题和有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
学校食堂想改建一个使用煤炭烧水的开水房，计划用电炉或继续用煤炭烧水，其中用煤时也要用电鼓风机及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，，其中为每吨煤的价格，为每百度电的价格，如果用煤烧开水的费用不超过用电炉烧开水的费用，则仍用原来的设备煤炭烧水，否则就用电炉烧水．
如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；
如果每百度电价不低于元，求继续用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？
18.本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求实数的值；
若函数，是否存在正实数，对区间上任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知集合，，具有性质：对任意，，与至少一个属于．
分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；
具有性质，当时，求集合；
记，求．
参考答案
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15.解：因为，，
若，则，
即，
解得，或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
故；
若，则，
又，
所以，解得，
故的取值范围为．
16.解：因为命题的否定为真命题，所以命题为假命题，
即对，恒成立，
即对恒成立，
因为，所以，
所以，
解得或，
所以实数的取值范围为；
若命题为真命题，则函数在区间上单调递增，
由二次函数可知，
若命题为真命题，则，不等式成立，
即，不等式成立，
因为，所以，
所以，解得，
因为命题和有且只有一个是真命题，
所以命题和一真一假，
若真假，则，
解得，
若真假，则，
解得，
综上，实数的取值范围为．
17.解：已知两种方法烧水费用相同，
则，
即，
即；
因为每百度电价不低于元，
则，
又继续用煤烧水，
则，
即，
即，
设，
则，
则，
当时取等号，
则时，取最大值，
即继续用煤烧水时每吨煤的最高价是元．
18.解：由题意，，
当时，函数在区间上单调递减，
，舍去；
当时，函数在区间上单调递增，
，；
综上，．
由知，，，且在区间上单调递增，
，即，
在区间上的值域为．
函数
，
当且仅当时，取等号，
在上为减函数，在上为增函数，
令，则，；
在区间上任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形，
等价于，．
当时，在单调递增，
，，由，得，
；
当时，在上为减函数，在上为增函数，
，，由，得，
；
当时，在上为减函数，在上为增函数，
，，由，得，
；
当时，在单调递减，
，，由，得，
；
综上，实数的取值范围为
19.解：集合中，因为，，，所以集合具有性质．
集合中，因为，，所以集合不具有性质．
因为，且具有性质，所以，，
则，又因为，所以，则，
由集合的互异性知．
故：．
因为具有性质，所以．，则，则，
又因为，所以，
又因为，所以，则，
所以，，，，．
所以，
即，
所以，则．
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