2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈工大附中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈工大附中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数集、满足：，，若，则一定有( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若不等式的解集为，则必有
D. 命题“，使得”的否定为“，使得”
4.已知函数为上的奇函数，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数，单位：米是海水深度，单位：坎德拉和单位：坎德拉分别表示在深度处和海面的光强已知某海区米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为 参考数据：，
A. B. C. D.
7.如图，某港口某天从到的水深单位：与时间单位：之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为( )
A. B.
C. D.
8.设，，，则，，大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
10.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为
B.
C. 若复数，满足，且，则
D. 若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为
11.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 直线是函数的图象的一条对称轴
C. 若时，恒成立，则实数的取值范围为
D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，求的值______．
13.化简： ______．
14.某公司购置了一台价值万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少经验表明，每经过一年其价值就会减少万元已知这台设备的使用年限为年，超过年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至年，每经过一年其价值就会减少万元，超过年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，若．
求角的大小；
若不是钝角三角形，且，，，求、的值．
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调递减区间；
Ⅱ将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
17.本小题分
某休闲农庄有一块长方形鱼塘，米，米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊、和，考虑到整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且．
设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
经核算，三条走廊每米建设费用均为元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
18.本小题分
设等差数列的公差为，且令，记，分别为数列，的前项和．
若，，
(ⅰ)求的通项公式；
(ⅱ)若，数列的前项和为，求．
若为等差数列，且，求．
19.本小题分
设为的导函数，若在区间上单调递减，则称为上的“凸函数”已知函数．
若为上的“凸函数”，求的取值范围；
证明：当时，有且仅有两个零点．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：在中，，
由正弦定理，
在中，，，
为三角形内角，
或；
因为不是钝角三角形，，，
由可得，
由余弦定理得：，
即，
解得：，
由，，
解得：，．
16.解：
，
Ⅰ令，，
则，，
故函数的单调递减区间为，；
Ⅱ将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，
得到函数的图象，
若且，
则，，
所以，
．
17.解：在中，，，，
在中，，，，
．
又，
，
．
当点在点时，这时角最小，此时；
当点在点时，这时角最大，求得此时．
故此函数的定义域为；
由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可．
由得，，，
设，则，
由，
又，得，
，
从而当，即时，，
所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．
18.解：根据题意，等差数列中，若，变形可得，解得，
则，又，
有，即，解得或舍去，
所以．
，则，
则
．
若为等差数列，则有，即，
得，即，解得或，
由，则，
又，由等差数列性质知，，
即，得，
即，解得或舍去，
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得．
时，，，符合题意，
所以等差数列的公差．
19.解：由，则．
由题意可知，为上的“凸函数”，
则在区间上单调递减，设，
则，所以在恒成立，
则在恒成立，
又当时，函数取最小值，且最小值为，
所以有，解得，
即的取值范围为．
证明：当时，由得
．
令，，其中，
则，其中．
当时，，
故H在无零点；
当时，由，则，
故故H在单调递增，
，且，
故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点；
当时，令，其中，
由在单调递增，
又，
故存在，使得，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
由，
故存在，使，即，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，
故当时，，即在无零点；
当时，则，，
所以，则在单调递增，
则恒成立，即在无零点；
综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内．
由，即将图象向左移个单位可得的图象．
故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内．
故有且仅有两个零点，命题得证．
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