2024-2025学年辽宁省沈阳市重点学校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市重点学校高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知为等比数列的前项和，：，：为常数列，则( )
A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件
4.已知锐角，满足，，则与的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.在等差数列中，若，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 满足的的最大值为
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的解集是，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 的最小值是
D. 当时，若，的值域是，则
10.设，其中，，则：( )
A. 相邻两个最高点之间的距离是
B.
C. 的单调递增区间是
D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称．
11.已知函数，则( )
A. 曲线关于点成中心对称
B. ，无极值
C. 若在上单调递增，则
D. 若曲线与轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数 ，则不等式 的解集为 ．
13.已知数列满足，，则的前项和 ______．
14.若函数有个零点，则正数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，满足．
求角．
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
16.本小题分
设是正数组成的数列，其前项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项．
求数列的通项公式；
令，求的前项和．
17.本小题分
已知曲线在处的切线过点．
试求的值；
讨论的单调性；
证明：当时，．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，为边上的中线，点，分别为边，上动点，交于已知，且．
求边的长度；
若，求的余弦值；
在的条件下，若，求的取值范围．
19.本小题分
已知对任意正整数，均有，我们称为次切比雪夫函数．
若为次切比雪夫函数，求的值．
已知为次切比雪夫函数，若数列满足证明：
数列中的每一项均为的零点；
当时，．
参考答案
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15.解：由，根据正弦定理得，
因为中，，所以，即，
结合，得，可得；
由可知，且，
根据正弦定理，可得，
所以，
由，得，
所以，
由为锐角三角形，可得，且，
所以，则，可得，
所以面积的取值范围是．
16.解：由题意，当时有，，
，解得： ．，
整理得由此得，
，
整理得，由题意知 ，
即数列 为等差数列，其中，公差．
，即通项公式为 ．
令，
则，
故
，
．
17.解：由已知，则，且，
因此曲线在处的切线方程为，
即，
所以，即；
由得，其定义域为，
所以，
当时，，是减函数；
当时，由，得，
，在上单调递减；
，在上单调递增；
所以当时，是减函数；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：由得，
要证明，即证，即证，
令，所以，
由，由，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此，
即恒成立，
所以当时，．
18.解：中，，由正弦定理得，，
由余弦定理得，，化简得，又因为，所以．
因为为的中点，所以，设、的夹角为，
所以，
，，
又，
所以，
化简得，解得或，
又因为，所以，
即的余弦值为．
因为的余弦值为，所以，
所以的面积为，
设，，因为，所以，即，
设，则，又，，三点共线，
可设，则，
由向量相等得，解得，所以，
又，所以，
又，化简得，
又，所以，所以，当时等号成立．
，当时等号成立，
综上，的取值范围是
19.解：方法一因为，
所以，则．
方法二由题意得，
令，得，
即，则．
证明：由题可知，
则．
因为，所以，
所以数列中的每一项均为的零点．
令，
则，在上单调递增，
则，即．
因为，
所以
则，
则．
因为，
所以，从而．
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