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北师大版八年级上册期中全真模拟卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果，那么
C．若，则 D．相等的角是对顶角
3． 已知点的坐标为，则点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：一次函数y=kx+b (k≠0)的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y=-bx+kb的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算不正确的是（ ）
A． =±2 B． =9
C． =0.4 D． =-6
6．下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．5，6，8 C．6，8，12 D．8，10，12
7．下列语句错误的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．
C．有理数和无理数统称实数 D．任何一个正数都有两个平方根
8．若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB2﹣AC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
10．为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（ ）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
11．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为 ，甲、乙两车离AB中点C的路程 千米 与甲车出发时间 时 的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地之间的距离为180千米
B．乙车的速度为36千米 时
C．a的值为
D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米
12．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产--“抖空竹”引入阳光特色大课间 下面左图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成右图的数学问题：已知 ， ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知点P、Q在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是
14．在△ABC中，∠A+∠B=90° ，则△ABC是 三角形。
15．△ABC中, ∠C=90°,若BC=12，AB=13，则AC=
16．已知 ，则 .
17．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．
18．化简二次根式 的结果是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知y是关于x的函数： .
（1）当 ， 为何值时，是一次函数；
（2）当 ， 为何值时，是正比例函数.
20．如图，在 中， ， ， 平分 ．
（1）求 的度数．
（2）延长 至 ，使 ，求证： ．
21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0）．
（1）求直线l所对应的函数表达式．
（2）若点M（3，m）在直线l上，求m的值．
23．已知y是关于x的一次函数，如表列出了部分对应值：
0 1
1 4
（1）求此一次函数的表达式；
（2）求a，b的值．
24．甲、乙两车分别从 两地同时出发，甲车匀速前往 地，到达 地立即以另一速度按原路匀速返回到 地；乙车匀速前往 地，设甲、乙两车距 地的路程为 (千米)，甲车行驶的时间为 (时)， 与 之间的函数图象如图所示.
（1）求甲车从 地到达 地所用的时间；
（2）求甲车到达 地时乙车距A地的路程；
（3）求甲车返回前甲、乙两车相距 千米时，甲车行驶的时间.
25．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”。如图1在△ABC中，若AB2+AC2-AB·AC=BC2，则△ABC是“和谐三角形”。
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题(填“真”或“假”)。
（2）若Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：b：c。
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点D、E，且AD FG。
①求证：AD=CE
②连接CG，若∠GCB= CABD，那么线段AG、FE、CD能否组成一个“和谐三角形” ？若能，请给出证明；若不能，请说明理由。
26．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股 数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；
（2）若第一个数用字母a(a为奇数，且a≥3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律 ， ， ……，于是他很快表示了第二数为 ，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识证明你的结论．
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北师大版八年级上册期中全真模拟卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
2．下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果，那么
C．若，则 D．相等的角是对顶角
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，故A不符合题意；
B、 如果，那么的逆命题是：如果a=b，那么，逆命题是真命题，故B不符合题意；
C、 若，则的逆命题是：若，则，当a=0时不成立，逆命题是假命题，故C符合题意；
D、相等的角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，逆命题是真命题，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】交换命题的题设和结论，就得到原命题的逆命题，再逐一判定即可。
3． 已知点的坐标为，则点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（2，3），
∴点P关于x轴的对称点坐标为（2，-3）．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
4．已知：一次函数y=kx+b (k≠0)的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y=-bx+kb的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）经过第二、三、四象限
∴k＜0，b＜0
∴对于一次函数y=-bx+kb
∴一次函数经过第一、二、三象限
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的解析式确定k和b的取值，再根据新函数的解析式即可得到其经过的象限。
5．下列计算不正确的是（ ）
A． =±2 B． =9
C． =0.4 D． =-6
【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A.=2，计算错误；
B.=9，计算正确；
C.=0.4，计算正确；
D.=-6，计算正确。
故答案为：A.
【分析】根据开平方和开立方的性质分别进行计算，得到答案即可。
6．下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．5，6，8 C．6，8，12 D．8，10，12
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+122=132，能构成直角三角形；
B、52+62≠82，不能构成直角三角形；
C、62+82≠122，不能构成直角三角形；
D、82+102≠122，不能构成直角三角形；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别求出两较短边的平方和与最长边的平方是否相等，若相等即是.
7．下列语句错误的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．
C．有理数和无理数统称实数 D．任何一个正数都有两个平方根
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】A、无理数都是无限小数，故符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、有理数和无理数统称实数，故符合题意；
D、任何一个正数都有两个平方根，故符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义，实数及其分类，平方根和算术平方根的定义进行判断即可。
8．若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义；探索数与式的规律
【解析】【解答】
当n=1时
当n=2时
当n=3时
① 正确
当n=4时
②正确
根据摸索的规律
即
③正确
故选：D
【分析】根据给定式子分别计算出an和，n=1，2，3，4，根据的求取过程摸索和n的规律，利用裂项相消的办法计算出 ③ ，得出全部正确的结论。
9．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB2﹣AC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，
∴AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE，
∵BC＝8，BE＝2，
∴AB2﹣AC2＝8×2＝16。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质得出AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，根据勾股定理得出AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，进而根据等式的性质及平方差公式分解因式的运用得出AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE进而代入BC，BE的值即可算出答案。
10．为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（ ）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
11．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为 ，甲、乙两车离AB中点C的路程 千米 与甲车出发时间 时 的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地之间的距离为180千米
B．乙车的速度为36千米 时
C．a的值为
D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、A、B两地之间的距离为18×2÷ ＝180（千米），所以A不符合题意；
B、乙车的速度为180 ÷3＝36（千米/小时），所以B不符合题意；
C、甲车的速度为180 =24（千米/小时），
a的值为180÷2÷24＝3.75，所以C不符合题意；
D、乙车到达终点的时间为180÷36＝5（小时），
甲车行驶5小时的路程为24×5＝120（千米），
当乙车到达终点时，甲车距离终点距离为180﹣120＝60（千米），所以D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据两车相遇时甲、乙所走路程的比为2：3及两车相遇所用时间，即可求出A、B两地之间的距离；根据乙车的速度＝相遇时乙车行驶的路程÷两车相遇所用时间，进而求出乙车的速度；根据甲车的速度＝相遇时甲车行驶的路程÷两车相遇所用时间即可求出甲车的速度，然后根据时间＝两地之间路程的一半÷甲车的速度，进而求出a值；根据时间＝两地之间路程÷乙车的速度求出乙车到达终点所用时间，再求出该时间内甲车行驶的路程，用两地间的距离与甲车行驶的路程之差即可得出结论．
12．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产--“抖空竹”引入阳光特色大课间 下面左图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成右图的数学问题：已知 ， ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：延长DC交AE于点F，
， ， ，
，
．
故答案为：A．
【分析】延长DC交AE于点F，先根据平行线的性质得到，再利用外角的性质得∠E=∠DCE-∠EFC。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知点P、Q在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵点P 、点Q 在一次函数 的图象上，
∴当 时，由题意可知 ，
∴y随x的增大而减小，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系可得，再求出m的取值范围即可。
14．在△ABC中，∠A+∠B=90° ，则△ABC是 三角形。
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B=90° ， ∠A+∠B+∠C=180° ，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据已知条件和三角形的内角和定理得出∠C=90°，得出△ABC是直角三角形，即可得出答案.
15．△ABC中, ∠C=90°,若BC=12，AB=13，则AC=
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC==5.
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理求得AC长.
16．已知 ，则 .
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x＋1=0，y－2=0
解得：x=-1，y=2
∴ 1
故答案为：1.
【分析】根据二次根式的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0可求出x，y的值，从而即可解决问题.
17．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．
【答案】（-1，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的中点
【解析】【解答】解：当x=0时，
∴点B的坐标为 ；
当y=0时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值，
如图所示．
∵点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ．
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（-2，1），E（0，-1）代入y=kx+b，
得： ，
解得： ，
∴直线CE的解析式为 ．
当y=0时， ，
解得： ，
∴点P的坐标为（-1，0）．
故答案为：（-1，0）
【分析】根据题意，由一次函数的解析式计算得到点A以及点B的坐标，根据中点的性质求出点C和点D的坐标，根据PC+PD取最小值，求出点E的坐标，继而由点C和点E的坐标根据待定系数法计算得到直线EC的解析式，求出点P的坐标即可。
18．化简二次根式 的结果是 .
【答案】-
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】根据二次根式的性质可得： ，解得： ，则原式= ．
【分析】由于二次根式的被开方数必须大于0，故，根据偶次幂的非负性进而得出-(a+2)≥0，求解得出a的取值范围，然后根据二次根式的性质将二次根式化简即可得出答案。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知y是关于x的函数： .
（1）当 ， 为何值时，是一次函数；
（2）当 ， 为何值时，是正比例函数.
【答案】（1）由 得， ，
∵ ，
∴ ，
所以， ， 取任何值时是一次函数；
（2）由 得， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
所以， ， 时是正比例函数.
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而得出|m|-2=1，以及m-3≠0求出即可；（2）直接利用正比例函数的定义进而得出|m|-2=1，以及m-3≠0，n-2=0求出即可．
20．如图，在 中， ， ， 平分 ．
（1）求 的度数．
（2）延长 至 ，使 ，求证： ．
【答案】（1）解：在 中， ， ，∴ ．
又∵ 平分 ，∴ 即
（2）证明：∵ ， ，∴ ，∴ ．
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，∴
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和得出∠CAB=60° 根据角平分线的定义即可得出∠CAD的度数；
（2）利用SAS判断出△ACD ≌ △ECD，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0）．
（1）求直线l所对应的函数表达式．
（2）若点M（3，m）在直线l上，求m的值．
【答案】（1）解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0），
∴ ，解得 ，
∴直线l所对应的函数表达式为 ；
（2）解：∵点M（3，m）在直线l上，
∴
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据点A以及点B的坐标，利用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）将点M的坐标代入直线解析式求出m的值即可。
23．已知y是关于x的一次函数，如表列出了部分对应值：
0 1
1 4
（1）求此一次函数的表达式；
（2）求a，b的值．
【答案】（1）解：设此一次函数的表达式为，
当时，；时，．
据此列出方程组，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：把代入，得到．
把代入得出，得出，解得：．
．．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设此一次函数的表达式为y=kx+b，将x=1、y=1；x=0、y=-2代入求出k、b的值，进而可得对应的函数关系式；
（2）将x=-1代入关系式中可得a的值，将y=4代入可得b的值.
24．甲、乙两车分别从 两地同时出发，甲车匀速前往 地，到达 地立即以另一速度按原路匀速返回到 地；乙车匀速前往 地，设甲、乙两车距 地的路程为 (千米)，甲车行驶的时间为 (时)， 与 之间的函数图象如图所示.
（1）求甲车从 地到达 地所用的时间；
（2）求甲车到达 地时乙车距A地的路程；
（3）求甲车返回前甲、乙两车相距 千米时，甲车行驶的时间.
【答案】（1）解：设甲车匀速前往B地的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得 ，
所以 ，
把 代入得 ，
解得 ，
故甲车从A地到达B地所用的时间为 小时；
（2）解：设乙车从B地开往A地的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
所以 ，
由（1）知，甲车到达B地所用时间为 小时，即此时乙车行驶了 小时，
所以此时乙车距A地的路程为： (千米)；
（3）解：①甲，乙两车相遇前相距 千米： ，
解得： ，
②甲，乙两车相遇后相距 千米： ，
解得： ，
故甲车返回前甲、乙两车相距 千米时，甲车行驶的时间为 小时或 小时.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图象提供的数据，利用待定系数法求出y甲与x之间的函数关系式，进而将y=300代入即可求出答案；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙车从B地开往A地的函数表达式，由（1）知，甲车到达B地所用时间，即此时乙车行驶的时间， 把这个时间代入乙车从B地开往A地的函数表达式计算即可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论求解： ①甲，乙两车相遇前相距 千米；②甲，乙两车相遇后相距 千米 根据“路程、速度、时间”的关系列方程解答即可.
25．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”。如图1在△ABC中，若AB2+AC2-AB·AC=BC2，则△ABC是“和谐三角形”。
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题(填“真”或“假”)。
（2）若Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：b：c。
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点D、E，且AD FG。
①求证：AD=CE
②连接CG，若∠GCB= CABD，那么线段AG、FE、CD能否组成一个“和谐三角形” ？若能，请给出证明；若不能，请说明理由。
【答案】（1）真
（2）解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a
∴AB2=AC2+BC2即a2+b2=c2，
△ABC是“和谐三角形”，
当a2+b2-ab=c2时，则-ab=0（不符合题意）；
当a2+c2-ac=b2时，则a2+a2+b2-ac=b2，
2a2-ac=0即a（2a-c）=0
∵a≠0
∴c=2a
∴a2+b2=4a2
解之：b=a.
∴a：b：c=a：a：2a=1： ：2；
当b2+c2-bc=a2时，则b2+c2-bc=c2-b2.
∴c=2b则a=b
∵b＞a
∴不符合题意，舍去.
∴a：b：c=a：a：2a=1： ：2；
（3）解：①证明
∵△BGF是和谐三角形，BG>FG，
∴BF2+FG2-BF·FG=BG2
∵BG⊥FG，
∴BG2=BF2-FG2，
∴BF2+FG2-BF·FG=BF2-FG2 ，
∴2FG2-BF·FG=0，
∴FG= BF
∴∠FBG=30° ，
∴∠BFG=60°，
∴∠ABD+∠BAF=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°
∴∠BAF+∠CAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE ，
∴AD=CE
②能， ∵AC=BC，AD=CE，
∴AC-AD=BC-CE，
∴CD=BE
∵∠GCB=∠ABD=∠CAE ，
∴60°-∠GCB= 60°-∠CAE ，
∴∠ACG=∠BAF
在△ABF和△CAG中，
∴△ABF≌△CAG，
∴AG=BF，
∴线段AG、EF、CD组成的三角形即为△BEF
∵∠BGF=90°，∠BFG =60°，
∴BF= 2FG
∵BF2= BG2+ FG2，
∴BF2+ EF2- BF·EF
=BG2+FG2 +EF·(EF-2FG)
=BG2+ FG2 +(FG+EG)·(EG- FG)
= BG2 +FG2+ EG2- FG2
=BG2+EG2
= BE2
∴△BFE是和谐三角形，
∴线段 AG、EF、CD能组成一个和谐三角形
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵等边△ABC，
∴AB=BC=AC
∵AB2+AC2-AB·AC=BC2+BC2-BC2=BC2，
∴等边△ABC是“和谐三角形”.
∴等边三角形一定是“和谐三角形”，是真命题.
故答案为：真.
【分析】（1）利用等边三角形的三边相等，可知AB=BC=AC，就可证得AB2+AC2-AB·AC=BC2，可得到等边三角形一定是“和谐三角形”。
（2）利用勾股定理可得到a2+b2=c2，再分情况讨论：当a2+b2-ab=c2时，则-ab=0（不符合题意）；当a2+c2-ac=b2时，可以推出c=2a，利用勾股定理可证得b=a.，由此可求出a，b，c的比值；当b2+c2-bc=a2时，可以推出a=b，由已知b＞a，排除此种情况；
（3）①根据 △BGF是和谐三角形，BG>FG，可证得BF2+FG2-BF·FG=BG2 ，再利用勾股定理可证得 BG2=BF2-FG2， 就看推出FG与BF的数量关系，由此可求出∠BFG=60°，利用等边三角形的性质，可以推出∠ABD=∠CAE；然后利用ASAS证明△ABD≌△CAE ，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②利用已知条件易证CD=BE，∠ACG=∠BAF，利用ASA△ABF≌△CAG，利用全等三角形的对应边相等可证得AG=BF，线段AG、EF、CD组成的三角形即为△BEF，可推出BF= 2FG，可得到BF2+ EF2- BF·EF= BE2，可证得△BFE是和谐三角形。
26．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股 数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；
（2）若第一个数用字母a(a为奇数，且a≥3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律 ， ， ……，于是他很快表示了第二数为 ，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识证明你的结论．
【答案】（1）60；61
（2）
（3）解：∵ ，
∴ ，
又∵a是奇数，且a≥3，
∴a、 、 三个数组成勾股数
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解”（1）根据题意可知下一组勾股数为11、60、61；
（ 2 ）根据题意可得规律5= ，13= ，25= …，
则可用含a的代数式表示出第三个数为： ；
【分析】（1）根据题意得到下一组勾股数是11、60、61；（2）由规律得到用含a的代数式表示出第三个数为（a2+1）÷2.
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