中小学教育资源及组卷应用平台
华师大版九年级上册期中摸底检测卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣﹣2＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
2．若关于x的方程（a+8）x2+x-5＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠-8 B．a＝-8 C．a≠8 D．a≠±8
3．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，矩形ABCD中，AB=2，E是AC的中点，∠AED=120°，则AD长为（ ）
A． B．4 C． D．5
6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（ ）
A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）
8．如图，四边形 是边长为6的正方形，点 在边 上， ，过点 作 ，分别交 于 两点.若 分别是 的中点，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针45°后得到正方形，依次方式，将正方形绕点O连续旋转2021次得到正方形，如果点C的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
11．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ( ）
A． B． C． D．4
12．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上，若，则矩形纸条DEFG的面积为（ ）.
A．3 B． C．19 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如果锐角的正切值为，那么锐角为 度.
14．关于x的方程的一个根为-2，则另一个根是 ．
15．在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数的顶点在坐标轴上的概率为 ．
16．化简： ．
17．若，则的值为 .
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝1，BC＝2，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．
（1）已知线段，，求线段a，b的比例中项线段c的长度.
（2）已知，求的值.
20．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 5000
优等品的频数m 9 96 951 1900 2856 4750
优等品的频率 0.9 0.96 a 0.95 0.952 b
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是 .（精确到0.01）
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
21．已知关于x的一元二次方程x2+2(k-3)x+k2=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k取最大的整数时，求这个方程的解.
22．如图，已知
求证：
（1） ；
（2） .
23．如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m，现有长为21m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．
（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB的长应是多少？
（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由．
24．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F．
（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；
（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．
25．商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
26．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x．
（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；
（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果 ，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
华师大版九年级上册期中摸底检测卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣﹣2＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
2．若关于x的方程（a+8）x2+x-5＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠-8 B．a＝-8 C．a≠8 D．a≠±8
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：关于x的方程（a+8）x2+x-5＝0是一元二次方程
∴
∴
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此可得a+8≠0，求解即可.
3．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，；在中，．
故答案为：C．
【分析】根据正弦函数的定义可得，，继而判断即可.
4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：D
【分析】根据题意表示出二月份和三月份的营业额，再利用等量关系一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，列出方程即可．
5．如图，矩形ABCD中，AB=2，E是AC的中点，∠AED=120°，则AD长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
∵矩形ABCD中，E是AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线交点，
∴．
∵∠AED=120°，
∴．
∵，
∴
∴EF为中位线，
∴，点为AD中点，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为 ，符合题意；
当k≠0时，∵关于的方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
又k≠0，
∴ 且k≠0，
综上所述，当时，关于的方程有实数根.
故答案为：B.
【分析】分两种情况：当k=0时，当k≠0时，再利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（ ）
A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段的黄金分割点，且AC>BC
∴
∵AB=200
∴
故答案为：B
【分析】根据黄金分割点的性质可得，再将数据代入计算即可。
8．如图，四边形 是边长为6的正方形，点 在边 上， ，过点 作 ，分别交 于 两点.若 分别是 的中点，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
∵ABCD是正方形，EF//BC，
∴四边形 是矩形，
∵N是CE的中点，BF、CE是矩形BCFE的对角线，
∴ 三点在同一条直线上.
∵ 是正方形 的对角线，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形.
又∵ 是 的中线，
∴ 也是 边上的高，
∴ 是直角三角形，
∵N为BF的中点，
∴ .
故答案为：C.
【分析】连接 ，可证明四边形 是矩形，根据正方形的性质可得∠BCD=45°，可知△DFG是等腰直角三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得△MBF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质，利用勾股定理即可求出MN的长.
9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针45°后得到正方形，依次方式，将正方形绕点O连续旋转2021次得到正方形，如果点C的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是正方形，C点坐标（0，1），即有OC=OA＝BC=AB=1，
∴B（1，1），连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝＝＝＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形O，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BO＝∠O＝…＝45°，
∴（0，），（﹣1，1），（﹣，0），（﹣1，﹣1），（0，﹣），（1，－1），（，0），（1，1），…，发现是8次一循环，如下图，
∵2021÷8＝252余5，
∴点的坐标为（0，﹣）．
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质可求出B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得OB＝＝＝＝…＝，即得（0，），再依次求出B2——B8···的坐标，可发现8次一循环，可知点的坐标与B5的坐标一致，据此即得结论.
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ，∴x1=-4，x2=2， x1=-2x2， 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2， ∴x1=±1，∴x1=1，x2=2，x1=-1，x2=-2， 则a＝x1+x2=±3， 正确；
③∵x1=3，x2=， 当x1=2x2时，3m=2n， 当x2=2x1时，n=6m， 错误；
④ 由题意得：n=， ∴mx2-3x+=0， ∴x1+x2=，x1x2=， 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0， ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0， ∴x1=2x2， 或x2=2x1，正确； 综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
11．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ( ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，
则CO=2CE，OE=2 ，
∠OCP=∠ECD，
∵∠CDP=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴ = =2，
∴△COP∽△CED，
∴ = =2，
即ED= OP=1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE=2 +1，
∴OD的最大值为2 +1，
故答案为：C.
【分析】如图，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，则CO=2CE，OE=2 ，∠OCP=∠ECD，由△COP∽△CED，推出 = =2，即ED= OP=1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题.
12．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上，若，则矩形纸条DEFG的面积为（ ）.
A．3 B． C．19 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴ ∠C+∠B=90°，
∵ 四边形DEFG为矩形，
∴ ∠ DEC= ∠GFE=90° ，
∴ ∠GFB=∠CED=90°，
∴ ∠C+∠ CDE=90°，
∴ ∠B=∠CDE，
∴ △BFG∽△DEC，
同理得：△GAD∽△DEC，
∴，
∵， GF=DE，
∴ GF=DE=3，
∴ CD==，
∵D 是AC的中点 ，
∴ AD=CD=，
∴，
∴ GD=，
∴ S矩形纸条DEFG=GD·DE= .
故答案为：B.
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似判定△BFG∽△DEC∽△GAD，根据相似三角形的性质求得GF=DE，再根据勾股定理求得CD，根据线段中点得AD，再利用相似三角形的性质求得GD，即可求得矩形面积.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如果锐角的正切值为，那么锐角为 度.
【答案】30
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为锐角的的正切值为，即，
所以锐角为30度，
故答案为：30．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
14．关于x的方程的一个根为-2，则另一个根是 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根是a，
由根与系数的关系，得-2a=6，
解得：a=-3。
故答案为：-3.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则.
15．在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数的顶点在坐标轴上的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下
-2 -1 0 1 2
-2 （-2，-1） （-2，0） （-2，1） （-2，2）
-1 （-1，-2） （-1，0） （-1，1） （-1，2）
0 （0，-2） （0，-1） （0，1） （0，2）
1 （1，-2） （1，-1） （1，0） （1，2）
2 （2，-2） （2，-1） （2，0） （2，1）
抛物线y=（x-m）2+n的顶点坐标为（m，n），
∵抛物线的顶点在坐标轴上，就是横坐标m为0或纵坐n为0的点，
∴一共有20种结果数，抛物线的顶点（m，n）在坐标轴上的有8种情况，
∴P（顶点在坐标轴上）=.
故答案为：
【分析】利用函数解析式可知抛物线y=（x-m）2+n的顶点坐标为（m，n），再根据抛物线的顶点在坐标轴上，就是m=0或n=0；由题意可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有等可能的结果数及抛物线的顶点在坐标轴上的情况数，然后利用概率公式可求出其概率.
16．化简： ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可.
17．若，则的值为 .
【答案】－1或8
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb，
（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb，
2（a+b+c）=k（a+b+c），
即（k-2）（a+b+c）=0，
k-2=0或a+b+c=0，
解得k=2或a+b+c=0，
当k=2时， ，
当a+b+c=0时，则a+b=-c，同理
故答案为：-1或8.
【分析】根据 是由 分子乘以分子，分母乘以分母得来的，进而只要得出的值，既可以求解出的值，设 可变换为（k-2）（a+b+c）=0，即可得出k-2=0或a+b+c=0，分两种情况进行讨论即可求解.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝1，BC＝2，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为 ．
【答案】或.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：第一种情况：延长ED交AB于点G，如图，
当∠EDF=90°，则∠GDF=90°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F ，
∴ ∠ADB=∠ADE，即∠ADG=∠ADF，
∵ ∠ADG+∠ADF=90°，
∴ ∠ADF=45°，
∴ △ACD为等腰直角三角形，
∴ AC=CD=1，
∵ BC=2，
∴ BD=DE=1，
∵ △ ACB∽△GDB，
∴，
∴ GD=，
∴ FD=，
∴ S△DEF==；
第二种情况：延长ED交AB于点G，如图，
由翻折的性质得：△ADE≌△ADB，△DEF≌△DGB，
∴ AG=AC=1，
∵ ∠ACB=90°，AC=1， BC=2，
∴ AB=，
∵ AC=1，
∴ FE=，
∴ 在Rt△DEF中，∠EFD=90°，
则，即，
解得：FD=，
则 S△DEF==；
故答案为：或.
【分析】分两种情况：第一种∠EDF=90°，根据翻折的性质得∠ADG=∠ADF，BD=DE，推出△ACD为等腰直角三角形，再根据相似三角形的性质求得FD即可求得；
第二种∠ADG=∠ADF，根据翻折的性质得EF，根据勾股定理得AB，在Rt△DEF中再根据勾股定理求得FD即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．
（1）已知线段，，求线段a，b的比例中项线段c的长度.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴c2=ab，
又∵a=4，b=9，
∴c2=4×9=36，
∴c=6（负值已舍），
∴ 线段a，b的比例中项线段c的长度的是6.
（2）解：设，，
∴.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）如果线段c是线段a、b的比例中项，则c2=ab，据此代入数值，计算即可；
（2）根据比例的性质，设x=2k，y=3k，再代入所求式子，合并并约分即可.
20．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 5000
优等品的频数m 9 96 951 1900 2856 4750
优等品的频率 0.9 0.96 a 0.95 0.952 b
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是 .（精确到0.01）
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
【答案】（1）0.951；0.95
（2）0.95
（3）解：根据题意得： （只）
答：这批公仔中优等品大约是9500只
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）a=951÷1000=0.951；
b=4750÷5000=0.95；
故答案为：0.951，0.95
（2）∵随着实验次数的增加，优等品的频率逐渐趋于稳定，频率稳定在0.95
∴从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95
【分析】（1） 根据优等品的频率，代入计算求出a、b值即可.
（2）根据频率估计概率进行解答即可.
（3）利用（2）中概率值乘以1000，列式计算，可求出结果.
21．已知关于x的一元二次方程x2+2(k-3)x+k2=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k取最大的整数时，求这个方程的解.
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）解：k的最大整数为1，
此时方程为：
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由根的判别式，当＞0时，方程有两个不相等的实数根可得结果；（2）根据（1）可得k的范围，再根据k取最大的整数时可得k的值，代入即可求解.
22．如图，已知
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC
即：∠BAD＝∠CAE
（2）证明：由（1）得：∠BAD＝∠CAE
又∵
∴△ABD∽△ACE
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三边对应成比例的三角形相似可得 △ABC∽△ADE ，由相似三角形的对应角相等可得 ∠BAC＝∠DAE ，从而可得结果；（2）由（1）可得 ∠BAD＝∠CAE ，且 ，由两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似可得结果.
23．如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m，现有长为21m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．
（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB的长应是多少？
（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设AB=x米，
由题意得 x（21-3x）=36，
整理得 ，
解得 ，
当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去；
当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．
答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB的长应是4米．
（2）解：设AB=x米，
由题意得 x（21-3x）=39，
整理得 ，
∴方程无实数根，
∴无法围成总面积为39平方米的花圃．
答：无法围成总面积为39平方米的花圃．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据要围成总面积为36平方米的花圃，可列方程x（21-3x）=36，再计算求解即可；
（2）根据x（21-3x）=39，再利用根的判别式判断即可。
24．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F．
（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；
（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB.
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE.
（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.
如图，连接PE，DE，
∴PE∥AB.
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=4，即x=4.
如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F，连接PE，
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点.
∵AE=，
∴EF=AE=.
∵，
∴PE=20，即x=20.
∴满足条件的x的值为4或20.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠PAF=∠AEB，结合∠PFA=∠ABE=90°，可证△PFA∽△ABE；
（2）分两种情况：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB； 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB，据此分别求解即可.
25．商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个背包的售价为 元，则月均销量为 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每个背包售价应不高于55元．
（2）解：依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）解：依题意，得： ，
整理，得： ．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到3700元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个背包的售价为x元，根据当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，空白市场月均销售量，再根据使这种背包的月均销量不低于130个，列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
（2）利用每一个背包的利润×销售量=3120，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
（3）利用每一个背包的利润×销售量=3700，列方程，根据方程根的情况，可作出判断.
26．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x．
（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；
（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果 ，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
【答案】（1）解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC＝6，
∴BC=8，
∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得 ；
（2）解：分两种情况情况：
（i）当E在BC边上时，
∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足为H，
那么AD=2AH，
∴
∴ ，
∴ ，
即 ；
（ii）当E在CB延长线上时，
∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；
综上所述，当△BED是等腰三角形时，x的值为 或2
（3）解：作DM⊥BC，垂足为M，
∵DM∥AC，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵△DEM∽△CDM，
∴
∴
∴ ，
整理得： （0＜x＜10）．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据△EDC∽△ACB可得答案；
（2）分两种情况情况： （i）当E在BC边上时，（ii）当E在CB延长线上时，分类讨论即可；
（3）作DM⊥BC，垂足为M，证得△DEM∽△CDM，进而求得关系式。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
