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2024秋人教八上数学期中临考模拟押题卷02
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 在平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知，则度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，在中，，，是边上的一个动点(不与顶点重合)，则的度数可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（ ）
A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对
6. 如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
7. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ）
A 5 B. 7 C. 7．5 D. 10
8. 如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 105°
9. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 5
10. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知△ABC≌△DEF，∠B=120°，∠F=35°．则∠D=______度．
12. 如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________．
13. 如图，在ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定BDC与CEB全等的依据是______________．
14. 如图所示，中，，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，，则______．
15. 如图，牧童在处放牛，其家在B处，两处到河岸的距离相等，即，点是的中点，牧童从处放牛到河边饮水后再回家，则在 _____处饮水所走的路线最短．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个
三．解答题（ 满分72分）
17. 如图，B是线段AC的中点，，求证：．
18. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的顶角的度数．
19. 如图1，在中，，D是的中点，过点B作，垂足为E，连接交于点F．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）P是射线上的点，过点C作//交的延长线于点G．
①如图2，若点P在的延长线上，请说明的理由；
②若，则________．
20. 如图，在中，，、分别是、边上的高，，求和的度数．
21. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
22. 如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点．
23. 在等腰三角形中，，，的对边分别是a，b，c，已知，b和c是关于x的方程的两个实数根，求的周长．
24. 提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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2024秋人教八上数学期中临考模拟押题卷02
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 在平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据"关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，即可求出对称点.
【详解】点P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标是(2,3).
故答案为(2,3).
【点睛】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数
2. 如图，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠FGD=113°，
∴∠C=∠FGD-∠2=113°-63°=50°，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
3. 如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，直角三角形的性质，根据三角形内角和得，由是的角平分线，则有，然后根据垂直定义得，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4. 如图，在中，，，是边上的一个动点(不与顶点重合)，则的度数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】只要证明70°＜∠BPC＜125°即可解决问题．
【详解】∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=55°，
∴∠A=180°﹣2×55°=180°－110°=70°．
∵∠BPC=∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞70°．
∵∠B+∠BPC+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°－∠B－∠PCB=125°－∠PCB＜125°，
∴70°＜∠BPC＜125°．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. 如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（ ）
A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【详解】选择AB=AC；理由如下：
在△ABD和△ACE中,
∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C，
∴ABD≌△ACE(ASA)；
故选B.
6. 如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
【详解】解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键．
7. 如图，为角平分线，于点，，，则的面积是（ ）
A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，由角平分线的性质，得，然后求出的面积即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵为的角平分线，于点，
∴，
∴的面积为：；
故选：A
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算．
8. 如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 105°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵∠B＝20°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝25°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
9. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点．
是角平分线，与关于对称，
点值上，，
，，，，
，
，
的最小值为2.4．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．
10. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，
∴，
∵BF∥AC，
∴，
∴，即，
∴，即AD是△ABC高，故①正确；
∵，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴，即AD是△ABC的中线，故②正确；
∵BF∥AC，
∴，
∵，
∴△DEC≌△DFB（AAS），
∴ED＝FD，故③正确；
过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，
∴，
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，
同理可知，
∵，
∴，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个；
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知△ABC≌△DEF，∠B=120°，∠F=35°．则∠D=______度．
【答案】25
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D的度数即可
【详解】∵△ABC≌△DEF
∴∠E=∠B=120°
∵∠F=35°
∴∠D=180°-∠E-∠F=25°
故答案为25
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等
12. 如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________．
【答案】84
【解析】
【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答．
【详解】解：为的中线，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
根据，列方程，
解得，
．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．
13. 如图，在ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定BDC与CEB全等的依据是______________．
【答案】（或“斜边、直角边”）
【解析】
【分析】由条件BD=CE，BC=CB，则Rt△BDC与Rt△CEB全等，即可得出结论．
【详解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，BD＝CE，BC=CB
∴Rt△BDC≌Rt△CEB(HL)
故答案为：HL或斜边、直角边
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，理解题意并掌握直角三角形的判定方法是关键．
14. 如图所示，中，，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据AAS证明△AEB≌△CFA，推出AF=BE=3，AE=CF=7，即可求出EF．
【详解】解：∵于点E， 于点F．
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△AEB≌△CFA，
∴AF=BE=3，AE=CF=7，
∴EF=AE+AF=7+3=10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
15. 如图，牧童在处放牛，其家在B处，两处到河岸的距离相等，即，点是的中点，牧童从处放牛到河边饮水后再回家，则在 _____处饮水所走的路线最短．
【答案】
【解析】
【分析】本题轴对称—最短路径问题，全等三角形的判定与性质，作关于的对称点连接，交于，然后证明，则，，此时为中点，与重合，根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作关于的对称点连接，交于，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴为中点，与重合，
∴，
此时走的路线最短，
即点为饮水处，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个
【答案】5
【解析】
【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可
【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个
故答案:5
【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键
三．解答题（ 满分72分）
17. 如图，B是线段AC的中点，，求证：．
【答案】证明过程见详解
【解析】
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
18. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的顶角的度数．
【答案】或或．
【解析】
【分析】这两个角可能都是底角，也可能一个是底角，一个是顶角，分开来讨论求解即可．
【详解】解：①当都是底角时，设其为x，
则，
解得，，
∴顶角为：；
②当底角比顶角2倍少时，设顶角为x，则底角为，
则，
解得，即顶角为；
③当顶角比底角2倍少时，设底角为x，则顶角为，
则，
解得，
则顶角为：；
故这个三角形的顶角的度数为或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分类讨论是正确解答本题的关键．
19. 如图1，在中，，D是的中点，过点B作，垂足为E，连接交于点F．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）P是射线上的点，过点C作//交的延长线于点G．
①如图2，若点P在的延长线上，请说明的理由；
②若，则________．
【答案】（1）；理由见解析
（2）①理由见解析；②1.5或4.5
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，可知，则利用，即可证明；
（2）①根据两直线平行内错角相等，可得，所以，得到，所以；
②分两种情况进行讨论：当点P在的延长线上时， ，当点P在线段上时，，代入数据计算即可．
【小问1详解】
．
∵， D是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
所以．
【小问2详解】
①∵，
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
②当点P在的延长线上时，
由①可知：
∴，
当点P在线段上时，
同理可得BP=CG，
∴，
∴．
故答案为：1.5或4.5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质证明线段相等是解题的关键．
20. 如图，在中，，、分别是、边上的高，，求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；先根据等腰三角形得出，则，再利用直角三角形两锐角互余得，再根据四边形的内角和为求出，最后利用对顶角得出的度数．
【详解】在中，、分别是、边上的高，
．
，
．
在中，，
（）
．
在四边形中，
．
21. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】解：（1）如图，A1B1C1为所作；
（2）ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
22. 如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点．
23. 在等腰三角形中，，，的对边分别是a，b，c，已知，b和c是关于x的方程的两个实数根，求的周长．
【答案】7或
【解析】
【分析】因为题目中的等腰三角形没有明确谁是腰和底，因此需要分两种情况讨论：（1）当a为底边时，b和c为腰，即，先解出m的值，进而得出b和c的值，即可得出的周长；（2）当a为腰时，b和c一个为腰一个为底，令，解得c的值，即可得出的周长．
【详解】解：分两种情况计算：
（1）当a为底边时，b和c为腰，即，
b和是关于的方程的两个实数根，
，
解得或，
当时，原方程为，
解得，不符合题意，舍去．
当时，原方程为，
解得，符合题意．
故的周长是；
（2）当a腰时，b和c一个为腰一个为底，令，
b和是关于的方程的两个实数根，
将代入，得，
解得，
则原方程为，
由一元二次方程根与系数的关系可知，
则，
故的周长是，
综上可知，的周长是7或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
24. 提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析.
【解析】
【分析】解决问题：对于图1，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，则四边PMCN为矩形，根据角平分线性质得PM=PN，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，则PB=PE；
对于图2，连结PD，根据正方形的性质得CB=CD，CA平分∠BCD，根据角平分线的性质得∠BCP=∠DCP，再根据“SAS”证明△CBP≌△CDP，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBC=∠PED，则∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PD；
问题延伸：对于图3，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．
【详解】解决问题：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四边PMCN为矩形，PM=PN，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠CEP=180°，
而∠CEP+∠PEN=180°，
∴∠PBM=∠PEN，
在△PBM和△PEN中
∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE；
如图2，连结PD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，CA平分∠BCD，
∴∠BCP=∠DCP，
在△CBP和△CDP中
，
∴△CBP≌△CDP（SAS），
∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠CEP=180°，
而∠CEP+∠PEN=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE，
∴PB=PD；
问题延伸：如图3，PB=PE还成立．
理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四边PMCN为矩形，PM=PN，
∴∠MPN=90°，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠BPM+∠MPE=90°，
而∠MEP+∠EPN=90°，
∴∠BPM=∠EPN，
在△PBM和△PEN中
，
∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE．
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