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沪科版九年级上册期中考点集训卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
2．反比例函数的图象一定不经过的点是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣4）
3．在中，，，，下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在婺州公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为 （ ）
A． B． C． D．
5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
6．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两个菱形一定相似
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个周长相等的三角形一定相似
7．二次函数 （a，b，c为常数且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
－1 0 1 3
－1 3 5 3
给出了结论：（1）二次函数 有最大值，最大值为5；（2） ；（3） 时，y的值随x值的增大而减小；（4）3是方程 的一个根；（5）当 时， .则其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E，下列结论：①与一定相似；②与一定相似；③当时，；④．
其中正确的结论有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（ ）
A．5 B． C． D．
10．将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若抛物线经过原点，则b= ．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 .
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是AB边上的一点，当AD＝ 时，△ABC∽△ACD．
15．如图，已知平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，且F为的黄金分割点（），那么的值为 ．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是 .
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）求△ABC的面积.
18．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
19．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系为p＝，且t为整数，日销售量y（千克）与时间t（天）之间的函数关系如图所示．
（1）求日销售量y与时间t的函数表达式．
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
20．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 （顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（-4，3）．
（1）画出 关于y轴对称的 ．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画 ，使 与 位似，且点 的坐标为（2，-2）．
（3） 与 的位似比是 ．
21．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1） APB≌ APD；
（2）PD2＝PE PF．
22．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC＝6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，求 的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB交BC于点E，CD交AE于点F．
（1）求证：△AEB∽△CDB．
（2）若AE⊥CD，求AC：BC的值．
（3）若DF＝2EF＝4，求AF的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B分别为直线y＝- x+6与x轴、y轴的交点.动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC.
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围.
25．如图，点P是反比例函数图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数（且）的图象于E，F两点，连接.
（1）四边形的面积 （用含的式子表示）；
（2）设P点坐标为.
①点E的坐标是（ ， ），点F的坐标是（ ， ）（用含的式子表示）；
②若的面积为，求反比例函数的解析式.
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沪科版九年级上册期中考点集训卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用位似图形的面积之比等于位似比的平方求解即可.
2．反比例函数的图象一定不经过的点是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣4）
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、当x=-3时，y=6÷（-3）=-2，∴点（-3，-2）不在反比例函数图象上，∴A不符合题意；
B、当x=2时，y=6÷2=3，∴点（2，3）不在反比例函数图象上，∴B不符合题意；
C、当x=2时，y=6÷2=3，∴点（2，-3）在反比例函数图象上，∴C符合题意；
D、当x=-2时，y=6÷（-2）=-3，∴点（-2，-4）不在反比例函数图象上，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将各选项的点坐标分别代入分析判断即可.
3．在中，，，，下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AB=3，
∴AC=2，
∴， 故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行判断，即可得出答案.
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在婺州公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，∠C=65°，AC=100米，
∴，
∴AB=AC·=100，
∴风筝离地面的高度可以表示为100.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出∠ABC=90°，∠C=65°，AC=100米，再根据锐角三角函数定义得出，求出AB的长，即可得出答案.
5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，直线y=kx+k过定点（-1，0），
得出A、D选项是错误的，
由B、C选项可知，k＞0，
∴y=-的图象在第二、第四象限，
故选：B．
【分析】由直线y=kx+k过定点（-1，0）排除A、D选项，再根据直线过一、二、三象限得出k>0，即可得出y=-过二、四象限．
6．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两个菱形一定相似
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个周长相等的三角形一定相似
【答案】B
【知识点】图形的相似；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不符合题意；
B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B符合题意；
C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不符合题意；
D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐一判断即可.
7．二次函数 （a，b，c为常数且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
－1 0 1 3
－1 3 5 3
给出了结论：（1）二次函数 有最大值，最大值为5；（2） ；（3） 时，y的值随x值的增大而减小；（4）3是方程 的一个根；（5）当 时， .则其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 时 ， 时 ， 时 .
∴ ，
解得： .
∴ .
当 时， 有最大值，为 ，①不符合题意.
，②符合题意.
∵a=-1<0,开口对称轴为直线 ，所以，当 时， 随 的增大而减小，③不符合题意.
方程为 ，解得 ， ，所以3是方程
的一个根，④符合题意.
∵ 时， .
∴ 时， .
∵ 时， ，且函数有最大值.
∴当 时， ，⑤符合题意.
综上，正确的有②④⑤，共3个，
故答案为：B.
【分析】当x=0时，y=3，则c=3；当x=-1时，y=-1；当x=1时，y=5，代入即可求函数解析式y=-x2+3x+3；进而可以进行判断．
8．如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E，下列结论：①与一定相似；②与一定相似；③当时，；④．
其中正确的结论有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴
∴
∵
∴．
故①正确
②由①知：
∴
∴
∵
∴．
∴故②正确
③由①知：
∴
∴
∴
∴
∴③正确
④∵点D是边上一动点（不与B，C重合），
∴．
当时，取得最小值
∵AB=AC
∴AD
∴2≤AD＜4．
∴故④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故选：D．
【分析】
①根据与，可得．
②由①知：，再根据三角形的外角等于不相邻两个内角的和得出：又因为，所以．
③由①知：，根据相似三角形对应边成比例可得：，求出AE，再求出CE即可.
④因为点D是边上一动点（不与B，C重合），因此AD的最大值为4，根据垂线段最短，当时，取得最小值，再根据等腰三角形三线合一，得出：AD.
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，
∵四边形ABCD矩形，AB=4，
∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
又∵F是AB的中点，
∴BF=2，
又∵EF⊥ED，
∴∠FED=90°，
∴∠FEB+∠DEC=90°，
∴∠FEB=∠CDE，
∴△BFE∽△CED，
∴=，
∴=，
∴（x-2）（x-4）=0，
∴x=2，或x=4，
①当x=2时，
∴EF=2，DE=4，DF=2，
∴AM=ME=，
∴AE===2，
②当x=4时，
∴EF=2，DE=2，DF=2，
∴AM=ME=，
∴AE==2，
AE==4，
∴x=4不合题意，舍去
故答案为：B.
【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出
AE===2，②当x=4时，由勾股定理算出AE==2，AE==4，故x=4不合题意，舍去.
10．将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若抛物线经过原点，则b= ．
【答案】1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线经过原点，
∴x=0时，y=0，
即0=b-1，则b=1.
故答案为：1.
【分析】将点（0，0）代入抛物线y=x2+bx+b-1可求出b的值.
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
【答案】600
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解： ，
∵a=-1.5＜0，
∴当t=20时，s有最大值，最大值为600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来．
故答案为：600.
【分析】将解析式化为顶点式，即可求解.
13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 .
【答案】y=2（x+1）2﹣2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为：y=2（x+1）2﹣2．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是AB边上的一点，当AD＝ 时，△ABC∽△ACD．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，
∴当时，△ABC∽△ACD，
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得到当时，△ABC∽△ACD，再将已知线段的长代入计算，可求出AD的长.
15．如图，已知平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，且F为的黄金分割点（），那么的值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；比例的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】修改分析
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵F为CD的黄金分割点（DF＞CF），
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠FDE，∠ABE＝∠DFE，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据黄金分割的定义可得，从而可得，再证明△ABE∽△DFE，最后利用相似三角形的性质可得，即可求解．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令y=0，可得x=4或-4，则OA=OB=4，
∵O、Q分别为AB、PA中点，
∴OQ=PB，
当B、C、P三点共线且C在BP中间时，BP有最大值，
BP=BC+PC=+PC=7，
∴OQ=3.5
故答案为：3.5.
【分析】要求OQ最大值，根据中位线定理可得OQ=PB，因此求出PB最大值即可；由题意可知当P、C、B共线时PB有最大值，根据抛物线解析式可得A、B坐标，由此可得OB长；在直角三角形BOC中根据勾股定理可求出BC长为5，进一步求出BP长7，即可得出OQ最大值3.5.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：令y=0，则 x2﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=2，∴A（﹣2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（﹣2，0）；
令x=0，得y=﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2）.
（2）解：∵A（﹣2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（﹣2，0），且C（0，﹣2），∴AB=4，OC=2.
S△ABC AB OC 4×2=4.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得出点A、B的坐标，令x=0求出y值，由此即可得出点C的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可得出AB的长度，结合OC=2，再根据三角形的面积公式即可得出结论.
18．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
19．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系为p＝，且t为整数，日销售量y（千克）与时间t（天）之间的函数关系如图所示．
（1）求日销售量y与时间t的函数表达式．
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），
将（1，198）、（80，40）代入，得：
解得：，
∴日销售量y与时间t的函数表达式为y=-2t+200（1≤t≤80，t为整数）；
（2）解：设日销售利润为w元，则w=（p-6）y，
①当1≤t≤40时，
w=（t+16-6）（-2t+200）=-（t-30）2+2450，
∵-＜0，
∴当t=30时，w有最大值，最大值为2450元；
②当41≤t≤80时，
w=（-t+46-6）（-2t+200）=（t-90）2-100，
∵1＞0，
∴当t≤90时，w随t的增大而减小，
∴当t=41时，w有最大值，最大值=（41-90）2-100=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），将（1，198）、（80，40）代入求出k、b的值，进而可得对应的函数表达式；
（2）设日销售利润为w元，则每千克的利润为(p-6)元，由总利润=每千克的利润×销售量，分①当1≤t≤40时与②当41≤t≤80时，两种情况可得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质可得最大值.
20．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 （顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（-4，3）．
（1）画出 关于y轴对称的 ．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画 ，使 与 位似，且点 的坐标为（2，-2）．
（3） 与 的位似比是 ．
【答案】（1）解：A、B、C关于y轴的对称点分别为 （4，3）、 （1，1）、 （3，1）．如图所示连接 ，则 ，即为所求；
（2）解：根据题意，以O为位似中心，可得出 （8，-6）、 （6，-2）．如图所示连接 ，则 ，即为所求
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（3） ， ．∴ ，∴ 与 的位似比是： ．
故答案为： ．
【分析】（1）先画出点A、B、C关于y轴的对称点，再连线即可；
（2）根据位似图形的性质，先找出点A、B、C的对应点，再连线即可；
（3）根据相似三角形的性质求解即可。
21．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1） APB≌ APD；
（2）PD2＝PE PF．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）解：∵△ABP≌△ADP，
∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，
∵AD BC，
∴∠ADP＝∠E，
∴∠E＝∠ABP，
又∵∠FPB＝∠EPB，
∴△EPB∽△BPF，
∴ ，
∴PB2＝PE PF，
∴PD2＝PE PF．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由SAS得出△ABP≌△ADP；
（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得出 ，可得出结论。
22．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC＝6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，求 的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意点A、B、C的坐标分别为（－2，0）、（6，0）、（0，6）
分别代入 得
解得，a＝ ，b＝2，c=6
∴抛物线的解析式为
（2）存在．
过点D向x轴作垂线，交BC于点E．
设直线BC的函数关系式为y=kx+n（k≠0）
代入点B（6，0）、C（0，6）得
解得k=－1，n＝6．
∴直线BC的函数关系式为y=－x＋6
设点D的横坐标为m，则点E横坐标为m
由题意 ，
∴DE＝
当m＝3时，
∵ ＜0
∴△BCD面积的最大值是 ，此时点D的坐标为（3， ）
（3）存在，
∵
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，a），
∵B（6，0），C（0，6），
①当∠PCB=90°时，CP2+CB2=BP2，
∴22+（a-6）2+62+62=（6-2）2+a2，
解得：a=8，
∴P1（2，8），
②当∠PBC=90°时，BP2+CB2=CP2，
∴（6-2）2+a2+62+62=22+（a-6）2，
解得：a=-4，
∴P2（2，-4），
③当∠CPB=90°时，BQP2+CP2=CB2，
∴（6-2）2+a2+22+（a-2）2=62+62，
解得：a= 或a= ，
∴P3（1， ），P4（1， ），
综上所述：点P的坐标分别为（2，8），（2，－4），（2， ），（2， ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 直线BC的函数关系式为y=－x＋6 ，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x=2， 再分类讨论，列方程计算求解即可。
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB交BC于点E，CD交AE于点F．
（1）求证：△AEB∽△CDB．
（2）若AE⊥CD，求AC：BC的值．
（3）若DF＝2EF＝4，求AF的值．
【答案】（1）证明：∵Rt△ABC中，D为AB的中点，
∴CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
∵DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠EAB=∠DCB，
∴△AEB∽△CDB．
（2）解： ∵AE⊥CD，
∴∠CAE+∠ACF=90°，∠ACF+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB=∠B=∠EAB，
∵∠B+∠CAE+∠EAB=90°
∴3∠B=90°，
解之：∠B=30°，
在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x
∴，
∴.
（3）解：方法一：过点A作AH∥BC交CD的延长线于点H，
∵DF=2EF=4
∴EF=2，
∵点D为AB的中点，
设CF=x，则DH=CD=x+4，
∴FH=x+8，
∵△FAD∽△FHA，
∴AF2=DF·FH=4（x+8）
解之：AF=，
∵AH∥BC，
∴△AFH∽△CEF
∴即
解之：（舍去）
∴；
方法二：过点D作DM∥BC交AE于点M，过点F作FG=FM，FN⊥MD，
∴MD=ME=AM，
设MF=x，
∴MF=FG=GD=x，MG=EF=2，
∴MN=NG=1，
∴x2-1=42-（x+1）2
解之：，
∴AF=2x+2=.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得CD=BD，利用等边对等角可得到∠B=∠DCB，再利用垂直平分线的性质可证得AE=BE，可推出∠B=∠EAB=∠DCB，利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义及余角的性质可证得∠CAE=∠DCB=∠B=∠EAB，再利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数；再在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x，利用勾股定理表示出BC的长，从而可求出AC与BC的比值.
（3）方法一：过点A作AH∥BC交CD的延长线于点H，利用已知求出EF的长，设CF=x，利用平行线分线段成比例可知DH=CD=x+4，易证△FAD∽△FHA，利用相似三角形的对应边成比例可表示出AF的长；再证明△AFH∽△CEF，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出AF的长；方法二：过点D作DM∥BC交AE于点M，过点F作FM=FG，FN⊥MD，可得到MD=ME=AM，设MF=x，可表示出FG，GD的长；利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，根据AF=2x+2，代入计算求出AF的长.
24．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B分别为直线y＝- x+6与x轴、y轴的交点.动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC.
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围.
【答案】（1）解：∵点A、B分别为直线y＝- +6与x轴、y轴的交点，
∴A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵AC为⊙P的直径，
∴△ACD为直角三角形.
∴AD＝AC cos∠BAO＝ .
当点Q与点D重合时，OQ+AD＝OA，
即： ，解得：t＝ .
∴t＝ 时，点Q与点D重合.
（2）解：在Rt△ACD中，CD＝AC sin∠BAO＝2t× .
①当0＜t≤ ，DQ＝OA﹣OQ﹣AD＝8﹣t﹣ .
∴当t＝ 时，S有最大值为 ；
②当 时，DQ＝OQ+AD﹣AO＝t+ .
∴所以S随t的增大而增大，
∴当t＝5时，S有最大值为15，又15 ，
综上所述，S的最大值为15.
（3）解：当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，
∵∠BAO＝∠QAC，∠AOB＝∠ACQ＝90°，
∴△ACQ∽△AOB，
，
即 ，解得t＝ .
所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为 或 .
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）易得A（8，0），B（0，6），则OA＝8，OB＝6，由勾股定理求出AB，利用三角函数的概念求出AD，当点Q与点D重合时，OQ+AD＝OA，据此可得t的值；
（2）首先由∠BAO的正弦函数求出CD，当0＜t≤时，DQ＝8-t-t=8-t，根据S=DQ·CD可得S，由二次函数的性质可得最大值；同理可求出（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，易证△ACQ∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可得t的值，据此解答.
25．如图，点P是反比例函数图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数（且）的图象于E，F两点，连接.
（1）四边形的面积 （用含的式子表示）；
（2）设P点坐标为.
①点E的坐标是（ ， ），点F的坐标是（ ， ）（用含的式子表示）；
②若的面积为，求反比例函数的解析式.
【答案】（1）k1-k2
（2）①：2，；，3；
②∵P（2，3）在函数y=的图象上，
∴k1=6，
∵E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；
∴PE=3-，PF=2-，
∴S△PEF=，
∴S△OEF=，
∴，
∵k2＜0，
∴k2=-9.
∴反比例函数y=的解析式为.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点P是反比例函数y= （k1＞0，x＞0）图象上一动点，
∴S矩形PBOA=k1，
∵E、F分别是反比例函数y=（k2＜0且|k2|＜k1）的图象上两点，
∴S△OBF=S△AOE=|k2|，
∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|，
∵k2＜0，
∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1-k2.
故答案为：k1-k2；
（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，
∴E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；
故答案为：2，；，3；
【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可得到矩形PBOA的面积为k1，S△OBF=S△AOE=|k2|，由此可推出四边形PEOF的面积=k1+|k2|，即四边形PEOF的面积S1=k1-k2；
（2）①利用PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，可表示出点E，F的坐标；②将点P的坐标代入函数解析式，可求出k1的值；利用点E，F的坐标可表示出PE，PF的长；再利用三角形的面积公式可表示出△PEF和△OEF的面积，可得到关于k2的方程，解方程求出k2的值，即可得到反比例函数解析式.
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