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2024秋人教八上数学期中临考模拟押题卷04
考试范围：三角形、全等三角形、轴对称；考试时间：100分钟；总分：120分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，下列折纸作品中是轴对称图形的有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是
3. 如图，四点共线，，，则为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知直线，，，那么的大小为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
7. 如图，中，和的角平分线交于点P，若，则的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A 40° B. 50° C. 60° D. 70°
10. 已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．
A ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
二．填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
11. 已知点和关于轴对称，则的值为__________．
12. 如图，已知∠ABC=120°，BD 平分∠ABC，∠DAC=60°，若 AB=2，BC=3，则 BD=_____.
13. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数是__．
14. 如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为．
（1）另一旗杆的高度为 _______m；
（2）小强从M点到达A点还需要的时间是 _________s．
15. 已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 如图，是的边上的高，平分，交于，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请写出关于轴对称的的各顶点坐标；
（2）请画出关于轴对称的；
（3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______．
18. 在四边形中，，
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若的平分线交于点E，且，求的度数．
19. 如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，求的长（用含m，n的式子表示）．
20 如图，线段，交CF于点E．
（1）尺规作图：以点A为顶点，射线为一边，在的上方作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：
证明：∵，（已知）
∴________．（ ）
∵，（已知）
∴________（ ）
∴．
21. 如图，已知为的平分线，于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求线段长．
22. 在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E，连接，则平分．
（1）如图（1），若，则点E的坐标为________；
（2）如图（2），若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．
23. 如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是．
（1）连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
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2024秋人教八上数学期中临考模拟押题卷04
考试范围：三角形、全等三角形、轴对称；考试时间：100分钟；总分：120分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，下列折纸作品中是轴对称图形的有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的判定，根据轴对称的定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
信封是轴对称图形，飞机是轴对称图形，裤子是轴对称图形，衬衣不是轴对称图形，
故选：C．
2. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
3. 如图，四点共线，，，则为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出，进一步推出，再利用线段的和差计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是由，推出．
4. 如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图过程可得，，利用证明≌，即可得结果．
【详解】解；根据作图过程可知：，，
在和中，
，
≌，
，
，
则的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
5. 如图，已知直线，，，那么大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，理解“两直线平行，内错角相等”及三角形内角和为是解题关键．
由“两直线平行，内错角相等”可得，然后根据三角形内角和定理计算求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，直线，等边顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】过B作，根据等边三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：过B作，则，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，正确添加辅助线，利用平行线的性质求解是解答的关键．
7. 如图，中，和的角平分线交于点P，若，则的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键．
过P点作于D，于E，于F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案．
【详解】解：过P点作于D，于E，于F，如图，
∵和的角平分线交于点P，
∴，
∴，设，
∵．
∵，
∴．
故选：B．
8. 如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质．作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小，即可求解．
【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小．
由对称性可知：，
∵，
∴，
∴最小时，点P应该满足，此时无法确定与，的大小关系，的度数．
故选：D．
9. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．
【详解】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°．
10. 已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．
A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④．
【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，
当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴和不全等，故③错误；
④当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
二．填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
11. 已知点和关于轴对称，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据两个点关于轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出结果．本题考查对称点的坐标，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点．
【详解】解：点和关于轴对称，
，，
．
故答案为：3．
12. 如图，已知∠ABC=120°，BD 平分∠ABC，∠DAC=60°，若 AB=2，BC=3，则 BD=_____.
【答案】5
【解析】
【分析】在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，则可证得△ABE为等边三角形，再结合条件可证明△ABD≌△AEC，可得BD=CE，再利用线段的和差可求得CE，则可求得BD．
【详解】在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180-∠ABC=60°，
∵BE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB，∠BAE=∠E=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=BAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD=CE，
∵CE=BE+BC=AB+BC=3+2=5，
∴BD=5，
故答案为5.
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造△ABE再证△ABD≌△AEC是解题的关键．
13. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数是__．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，证得是等边三角形，得即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
∴，
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定和性质，正确掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
14. 如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为．
（1）另一旗杆高度为 _______m；
（2）小强从M点到达A点还需要的时间是 _________s．
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】（1）首先通过证明，可得，，然后可求出的长，进而可得长；
（2）利用路程除以速度可得时间．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定，掌握全等三角形的判定定理：、、、、．
【详解】解：如图：
和的夹角为，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）．
答：小强从点到达点还需要18秒．
故答案为：（1）9；（2）18．
15. 已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线交点，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 如图，是的边上的高，平分，交于，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件，求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后根据角平分线的定义，求出答案；
（2）先根据角平分线的定义，求出的度数，然后再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可．
本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键是能够正确识别图形，找出角与角之间的关系．
【小问1详解】
解： 是的边上的高，
．
，
，
，
平分，
；
【小问2详解】
解：平分，
，
，
．
17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请写出关于轴对称的的各顶点坐标；
（2）请画出关于轴对称的；
（3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______．
【答案】（1）点，，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可；
（2）根据轴对称的性质，画出；
（3）画出，连接，与轴的交点即为所求．
【小问1详解】
解：与关于轴对称，
点，，．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
如图，点即为所求，
点的坐标为．
故答案为：．
18. 在四边形中，，
（1）如图1，若，求度数；
（2）如图2，若的平分线交于点E，且，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了四边形的内角和，平行线的性质和角平分线的定义．
（1）根据四边形的内角和是，结合已知条件即可求出答案；
（2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到D的度数，进一步根据四边形的内角和定理进行求解．
【小问1详解】
解：，
．
【小问2详解】
∵，
∴，
．
又∵平分，
∴，
∴．
19. 如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，求的长（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解；
（2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明；
（3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
20. 如图，线段，交CF于点E．
（1）尺规作图：以点A为顶点，射线为一边，在的上方作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：
证明：∵，（已知）
∴________．（ ）
∵，（已知）
∴________（ ）
∴．
【答案】（1）见解析 （2）；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的作法，平行线的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，以同样长为半径，以点为圆心画弧，再以点为圆心，以为半径画弧，由此即可求解；
（2）根据平行线的判定和性质即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求图形；
【小问2详解】
证明：∵，（已知）
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行；
21. 如图，已知为的平分线，于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到；
（2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可．
【小问1详解】
如图所示，过点D作交于点F
∵为的平分线，于点E，
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴；
【小问2详解】
∵为的平分线
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
22. 在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E，连接，则平分．
（1）如图（1），若，则点E的坐标为________；
（2）如图（2），若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）可证明，从而得出，进而求得；
（2）延长至，使得，从而得出，进而得出，在根据三角形内角和求得结果．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：延长至，使得，如下图：
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作常见辅助线，构造全等或基本定理的条件．
23. 如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是．
（1）连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）不变，
（2）当第2秒或第4秒时，为直角三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以．，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数．
（2）设时间为，则，．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值．
（3）首先利用边角边定理证得△，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数．
【小问1详解】
解： 不变．
等边三角形中，，，
又由条件得，
在与中，
，
，
．
【小问2详解】
解：设时间为，则，，
①当时，
，
，得，；
②当时，
，
，得，；
当第2秒或第4秒时，为直角三角形．
【小问3详解】
解：不变．
在等边三角形中，，，
，
又由条件得，
在与中，
，
，
又，
．
【点睛】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．一元一次方程的应用，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
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