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苏科版九年级上册期中直击考点冲刺卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2－6x+2 B．x2-y+1=0 C．x2=0 D． + x=2
2．若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则k的值为（ ）
A．-1 B．0或1 C．1 D．0
3．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一张长方形纸板长40cm，宽30cm，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面ABCD的面积等于300，设剪掉的小正方形边长为x cm，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）
A．1 B．＋1 C．2－1 D．3
7．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在 中， ∠ACB=90°， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知一元二次方程x2-5x+3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值为 ．
12．甲、乙两篮球队队员身高的平均数都为米，方差分别是，，且，则队员身高比较整齐的球队是 ．
13．方程的解为 ．
14．一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是 ．
15．关于x的方程 是一元二次方程，则m ；
16．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 .
17．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转60°，点B、C的对应点分别为D、E，点D在 上，则阴影部分的面积为 ．
18．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=6，则△ABC的面积为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，81，82，85，83 乙：88，79，90，81，72.
（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；
（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
21．已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
22．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
23．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 米，面积为 平方米．
（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米
（3）求当 为何值时，围成的养鸡场面积最大．
24．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点.
（1）如图①，若点E在 上，F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE= AE.请说明理由；
（3）如图②，若点E在 上.连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长.
25．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值.例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A. 特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0.
（1）代数式x2 2x的不变值是 ，A= .
（2）说明代数式2x2+3没有不变值；
（3）已知代数式x2 bx+b，
①若A=0，求b的值；
②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和.
26．已知方程 +px+q＝0的两个根是 ， ，那么 + ＝－p， ＝q，反过来，如果 + ＝－p， ＝q，那么以 ， 为两根的一元二次方程是 +px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程 +mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足 －15a－5＝0， －15b－5＝0，求 的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值
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苏科版九年级上册期中直击考点冲刺卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2－6x+2 B．x2-y+1=0 C．x2=0 D． + x=2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】因为3x2－6x+2是一个代数式，所以不是一元二次方程，所以选项A错误；因为x2-y+1=0中有2个未知数，所以不是一元二次方程，所以选项B错误；因为x2=0符合一元二次方程的定义，所以C正确；因为 +x=2是分式方程，所以选项D错误.
故答案为：C.
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2．若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则k的值为（ ）
A．-1 B．0或1 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入 得k-1+1-k2=0，解得k1=0，k2=1，
而k-1≠0，
所以k=0．
故答案为：D．
【分析】把x=1代入 得以k为未知数的一元二次方程，解方程求得k值，再由二次项系数不为0 即可解答.
3．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故答案为：A．
【分析】利用配方法把方程 变形即可.
4．如图，一张长方形纸板长40cm，宽30cm，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面ABCD的面积等于300，设剪掉的小正方形边长为x cm，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪掉的小正方形边长为x cm，则，，根据题意得：
．
故答案为：A
【分析】设剪掉的小正方形边长为x cm，则AB=（30-2x）cm，BC=（20-x）cm，根据“ 纸盒底面ABCD的面积等于300 ”列出方程即可.
5．在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D．
，．
①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故答案为：D．
【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。
6．如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）
A．1 B．＋1 C．2－1 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，
∴H是AB的中点，即，
又∵∠A＝45°，CD⊥AB，
∴△AHO是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证明△AHO是等腰直角三角形，再求出，，最后利用线段的和差求出DH的长即可。
7．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；确定圆的条件；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴点C在上，且半径为1，
在x轴上取OD=OA=2，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
当OM最大时，即CD最大，
∴当D，B，C三点共线时，OM最大，
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，
∴BD=2，
∴CD=2+1，
∴OM=，
∴OM的最大值为.
故答案为：D.
【分析】根据同圆的半径相等得出，点C在半径为1的上，在x轴上取OD=OA=2，连接CD，根据三角形中位线定理得出OM=CD，从而得出当D，B，C三点共线时，OM最大，求出CD的长，即可得出OM的最大值.
8．如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，
记的交点为的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：
四边形为正方形，则
设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：
而
又 而
解得：
故答案为：A.
【分析】记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，记的交点为的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：设利用勾股定理可得 而可得求出最后求出即可.
9．下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
10．如图，在 中， ∠ACB=90°， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知一元二次方程x2-5x+3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值为 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-5x+3＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2=-=5，
故答案为：5.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=-=5，即可得出答案.
12．甲、乙两篮球队队员身高的平均数都为米，方差分别是，，且，则队员身高比较整齐的球队是 ．
【答案】乙队
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，平均数相同，
∴队员身高比较整齐的球队是乙队，
故答案为：乙队．
【分析】根据方差的意义即可求出答案.
13．方程的解为 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，，
故答案为：，
【分析】根据题意直接运用因式分解法解一元二次方程即可求解。
14．一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是 ．
【答案】5
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵数据2，3，4，x，6的平均数是4，
∴（2+3+4+x+6）÷5=4，
解得：x=5；
故答案为：5．
【分析】根据用平均数的定义列出算式，再进行计算即可得出答案．
15．关于x的方程 是一元二次方程，则m ；
【答案】≠±2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：m2-4≠0，
解得：m≠±2，
故答案为：≠±2．
【分析】利用一元二次方程的定义进行解答即可．
16．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 .
【答案】1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的 上运动，
连接O'A交 于E′，此时AE′的值最小.此时⊙O与⊙O'交点为E'.
∵∠BE'C＝120°
∴ 所对圆周角为60°，
∴∠BO'C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4 ，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝ ＝ ＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CE，由平行线的性质可得∠PAC＝∠ACB＝60°，根据圆周角定理得∠BEC＝120°，连接O'A交 于E′，此时AE′的值最小，⊙O与⊙O'交点为E'，易得∠BOC＝2×60°＝120°，O′B＝O′C＝4，∠ACO'＝90°，由勾股定理求出O'A，然后根据AE′＝O'A-O'E′进行计算.
17．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转60°，点B、C的对应点分别为D、E，点D在 上，则阴影部分的面积为 ．
【答案】 +
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
则∠ABN＝30°，
故AN＝1，BN＝ ，
S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD
＝ ﹣（ ﹣ ×2× ）
＝π﹣（ π﹣ ）
＝ + ．
故答案为： + ．
【分析】连接BD，过点B作BN⊥AD，由旋转的性质可得∠BAD＝60°，AB＝AD，利用有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，从而可得∠ABD＝60°，利用等腰三角形的三线合一可得∠ABN＝30°，从而求出AN、BN的长，因为S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD-S三角形ABD），所以代入数值计算即可.
18．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=6，则△ABC的面积为 .
【答案】 或
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】图（1），
r=BC=6，在等边三角形OBC中，OD= ，则△ABC的面积为 ；
图（2），
OD= ，则△ABC的面积为 ；
则△ABC的面积为 或 .
【分析】三角形外心为三条边中垂线的交点，可能在三角形内部也可能在三角形外部；先根据勾股定理求得OD长，从而求得AD的长，即可求得△ABC的面积.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，81，82，85，83 乙：88，79，90，81，72.
（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；
（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.
【答案】（1）解：甲平均分为 （分）
乙的平均分为 （分）
甲的方差:
乙的方差
（2）解：选拔甲参加比赛更合适，
∵4＜42，甲、乙的平均分相等，
甲的方差较小
∴甲的成绩比较稳定
∴选拔甲参加比赛更合适.
【知识点】方差
【解析】【分析】（1）先求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算方差即可；（2）根据平均分相同，方差越小，成绩越稳定，即可判断.
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
【答案】（1）解：连接OB，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100°
∴∠ACB=∠AOB=50°
即β=50
（2）解：β=90 －α，理由如下：连接OB，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=α∴∠AOB=180 －2α
∵∠C=
∴β=90 －α
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案；
（2）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，再整体代入即可。
21．已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明：移项整理成一般形式： ，Δ= =1+4 ，∵ ≥0，∴1+4 >0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：若方程的一个根是1，则（1-3）（1-2）= ，∴m=±2，∴ －5x＋6=2，（x-4）（x-1）=0，∴x=4，x=1，∴m的值是±2，方程的另一个根是4
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）首先将方程整理成一般形式，然后算出其根的判别式的值，根据绝对值的非负性，即可判断出该方程根的判别式的值一定是一个正数，从而得出： 对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根 ；
（2）根据方程根的概念，将x=1代入原方程，即可求出m的值，然后将m的值代入原方程，求解即可得出方程的另一个根。
22．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
【答案】（1）解：直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
已知D为⊙O的一点，
∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）解：∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，
则（4+x）2=x2+（5+3）2，
解得：x=6，
即BE=6．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
23．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 米，面积为 平方米．
（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米
（3）求当 为何值时，围成的养鸡场面积最大．
【答案】（1）解：
（2）解：当 时， ，解得 ， ．
∴当 或6时，围成的养鸡场面积为60平方米．
（3）解： ，
∴当x=8时，y取得最大值，此时y=64，
∴当 时，围成的养鸡场面积最大．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数关系式即可；（2）将y=60代入（1）中的函数关系式中求解即可；（3）利用配方法求最大值即可。
24．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点.
（1）如图①，若点E在 上，F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE= AE.请说明理由；
（3）如图②，若点E在 上.连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长.
【答案】（1）解：如图， ， ， ，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）
（2）解：由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF= AE
即DE-DF= AE
∴DE-BE= AE
（3）解：连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD= BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4 .
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出边相等，根据圆周角定理得出角相等，然后利用SAS证明 △ADF≌△ABE即可；
(2)由（1）结论得出AF=AE，再证明△EAF是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出EF= AE ，最后根据线段之间的和差关系即可得证；
(3) 连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH，利用圆内接四边形的性质得∠CBE+ ∠CDE= 180°，得出E、D 、 H三点共线；△CEH是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算，可得答案.
25．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值.例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A. 特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0.
（1）代数式x2 2x的不变值是 ，A= .
（2）说明代数式2x2+3没有不变值；
（3）已知代数式x2 bx+b，
①若A=0，求b的值；
②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和.
【答案】（1）0和3；3
（2）解：由定义知设2x2+3的不变值为n,，
2n2+3=n，
2n2-n+3=0，
Δ=1-24=-23<0，
方程无实根，
代数式2x2+3没有不变值；
（3）解：①由A=0知方程只有一个不变值，设不变值为x，
∴x2 bx+b=x，
整理得：x2-(b+1)x+b=0，
∵方程只有一个不变值，
∴方程有两个相等实根，
∴Δ=(b+1)2-4b=0，
∴b=1，
②最大根为x2，最小根x1，则A=x2-x1，
由1≤A≤2，b为整数，
∴1≤x2-x1≤2，
∴1≤(x2-x1)2≤4，
∴1≤(x2+x1)2-4x1 x2≤4，
∵x1、x2是x2-(b+1)x+b=0的两个根，
∴由根与系数关系得，x1+x2=b+1，x1 x2=b，
∴1≤(b+1)2-4b≤4，
∴1≤(b-1)2≤4，
∴1≤|b-1|≤2，
当b<1时，|b-1|=1-b，
∴1≤1-b≤2，
∴0≤-b≤1，则-1≤b≤0，
当b≥1时，|b-1|=b-1，
∴1≤b-1≤2，
则2≤b≤3，
因为b为整数，则b=-1，0，2，3
所有整数b的和为：-1+0+2+3=4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】(1)由存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值，得：n2-2n=n，n=0，或n=3，A=3-0=3；
【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于一元二次方程，解出x的值，再做差后即得A值；
（2） 由定义知设2x2+3的不变值为n,， 即得2n2-n+3=0，可求出判别式△＜0， 可知方程无实根，据此判断即可；
（3）①由A=0知方程只有一个不变值，设不变值为x，可得x2 bx+b=x，即得x2-(b+1)x+b=0，根据方程只有一个不变值，可得△=0，据此求出b值；
② 设最大根为x2，最小根x1，则A=x2-x1，由1≤A≤2，b为整数，可得1≤x2-x1≤2，利用不等式的性质及配方的应用可得1≤(x2+x1)2-4x1 x2≤4， 由 x1、x2是x2-(b+1)x+b=0的两个根，利用根与系数关系可得x1+x2=b+1，x1 x2=b，从而可得1≤|b-1|≤2， 分两种情况当b<1时或当b≥1时，据此分别解答即可.
26．已知方程 +px+q＝0的两个根是 ， ，那么 + ＝－p， ＝q，反过来，如果 + ＝－p， ＝q，那么以 ， 为两根的一元二次方程是 +px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程 +mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足 －15a－5＝0， －15b－5＝0，求 的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值
【答案】（1）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则： + = =﹣ = = ，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：y2+ y+ =0，整理得：ny2+my+1=0；
（2）解：分两种情况讨论：①当a≠b时，∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴ = = = =﹣47．
②当a=b时，原式=2；
（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab= ，∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，∴c2﹣4 ≥0，c2﹣ ≥0．
∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则x1+x2=-m，x1·x2=n，然后利用异分母分式的加减法法则及整体代入法求出这两根的倒数和，利用分式的乘法法则及整体代入法求出这两根倒数的积；根据题干提供的方法即可得出以已知方程的两根的倒数为根的一元二次方程；
（2）分两种情况讨论：①当a≠b时，根据题意可知a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，根据根与系数的关系得出a+b=15，ab=﹣5，然后根据异分母分式的加法法则将代数式化简，再整体代入即可算出答案；②当a=b时，原式=2；
（3）由a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，c为正数，得出a+b=﹣c，ab=，根据一元二次方程根与系数的关系得出a、b是方程x2+cx+ =0的解，根据此方程有实数根得出其根的判别式应该不小于0，从而得出不等式，求解即可。
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