2024-2025学年辽宁省沈阳二中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳二中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若，，定义且，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，正确的是( )
A. ，
B. ，
C. 命题“，，使得”的否定形式是“，使得“
D. 方程有两个正实数根的充要条件是
4.已知一元二次不等式的解集为，则的解集为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.设命题：关于的不等式与的解集相同；命题：，则命题是命题的( )
A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.，，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.
B. ，，使得
C. 是的充要条件
D. 若，则
10.下列四个命题中，不正确的是( )
A. 若，则可取值为，，
B. 设，，则“”是“”的充分不必要条件
C. 若，则
D. 命题“，”的一个必要不充分条件是
11.下列条件是条件：的充分条件的是( )
A. 条件：是二次方程的一个根
B. 条件：
C. 条件：关于的不等式的解集为
D. 条件：关于的二次方程有两不等实根，且在上恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为实数，，则的充要条件为______．
13.定义：区间、、、的长度均为若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ______．
14.已知，，且满足，则的最小值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
，求不等式解集；
，求方程组解集；
，求不等式解集．
16.本小题分
已知一元二次函数有两个相等实根，若关于的不等式的解集为．
求实数的值；
若，，，求的最小值．
17.本小题分
已知，是一元二次方程的两个实数根．
是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
求使为负整数的实数的整数值．
18.本小题分
，恒成立，求实数的取值范围；
证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件．
19.本小题分
设正整数，集合，，，，，，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
Ⅰ当时，已知集合，，，，，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
Ⅱ当时，已知集合，，若不是的完美子集，求的值；
Ⅲ已知集合，其中若对任意，，都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
参考答案
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15.解：由，得，即，解得或，
所以原不等式的解集为，
，化简整理可得，，则，
解得或，因此或，
所以原方程组的解集为．
当时，；当时，，
当时，原不等式化为，解得，因此；
当时，原不等式化为，恒成立，因此；
当时，原不等式化为，解得，因此，
所以原不等式的解集为．
16.解：因为有两个相等实根，
可得，
可得，
因为不等式的解集为，
可得的解集为且，
所以的两个根为，，
又，
可得，
所以；
由题意，，，
可得，
可得
，当且仅当，即，时，等号成立，
可得的最小值为．
17.解：由题意可知，
即．
又，
，
且．
由题可知，．
，即，
，解得经检验，符合题意．
存在实数，的值为．
．
为负整数，
整数的值应取，，，．
18.解：当时，不成立；
当时，，无解，
综上，实数的取值范围为；
证明：充分性：
若，则，显然原方程有两个互异实根，
设两根分别为，，则，于是方程有一正一负根，充分性成立；
必要性：
若关于的方程有一正一负根，设两个根为，，
则，解得，必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件．
19.解：Ⅰ由，
显然只有唯一解，即，
所以为的完美子集；
同理，对于，，
令，
即，方程组的解不唯一，
比如为方程组的一组解，故B不是的完美子集；
Ⅱ由题意得，
所以
由不是的完美子集，即方程组的解不唯一，
因为，，，
由集合的互异性得，且．
所以，，，，．
所以
所以．
所以或．
检验：
当时，存在，，使得．
当时，因为，所以，，舍．
所以．
Ⅲ假设存在不全为的实数，，满足，
不妨设，则否则与假设矛盾．
由，得．
所以
与，即矛盾．
所以假设不成立．
所以．
所以．
所以一定是完美集．
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