2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的一条渐近线为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
2.若圆的圆心是，则该圆的半径为( )
A. B. C. D.
3.已知点到原点的距离等于，则实数，满足的条件是( )
A. B. C. D.
4.阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为，则椭圆的短半轴长为( )
A. B. C. D.
5.若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
10.已知圆：，直线：则以下命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 轴被圆截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得弦长最长时，直线的方程为
11.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于、两点则下列说法正确的是( )
A. 曲线的方程为：
B. 的最小值为
C. 为坐标原点，的最小值为
D. 为曲线上不同于、的一点，且直线、的斜率分别为，，则
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右支上一点异于点，的内切圆圆心为则以下结论正确的是( )
A. 直线与的斜率之积为
B. 若，则
C. 以为直径的圆与圆相切
D. 若，则点坐标为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 ______．
14.过点的等轴双曲线方程为______．
15.若圆：与圆：有且仅有一条公切线， ______．
16.数学月考出了这样一道题：设，为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆小峰顿悟，于是写出了答案：______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，：，设直线，的交点为．
求点的坐标；
若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18.本小题分
已知的顶点坐标分别是，，．
求外接圆的方程；
若直线：与的外接圆相交于，两点，求．
19.本小题分
已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点．
求的标准方程；
若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为，求直线的斜率．
20.本小题分
已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程．
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
记直线、的斜率分别为、，证明：为定值．
22.本小题分
已知和为椭圆上的两点．
求椭圆的离心率；
设直线：与椭圆交于、两点，求的取值范围．
参考答案
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17.解：联立方程，解得；
直线在两坐标轴上的截距相等，
直线的斜率为或经过原点．
当直线过原点时，直线过点，
的方程为；
当直线斜率为时，直线过点，
的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
18.解：设圆的一般方程为：，
将，，代入，
得，解得，所以外接圆的方程为；
由知，设圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
又因为，在等腰中，所以圆心角，则．

19.解：，，
椭圆的方程可化为，又点在椭圆上，，
椭圆的标准方程为．
由题意知直线不过原点且斜率存在，
设直线的方程为，，，，
联立，整理得，
则，
，，
又直线的斜率为，，解得．
20.解：Ⅰ由，解得，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ设，．
由，可得，
则，
又因为点在圆上，所以，
即，化简得：，
所以点的轨迹方程为．
21.解：由的周长为，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为，所以，
．
所以椭圆的方程为：．
依题意，直线与轴不重合，
设的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，，
由韦达定理得，
又，，
则，
注意到，即：，
所以．
22.解：依题意有，解得，
所以，所以，，，
所以椭圆离心率．
由有椭圆标准方程为，
联立，消去得，
，
设，，则，
则
，
点到直线的距离，
所以，
令，则，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，即的取值范围为．
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