2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知命题：，命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列各组函数是同一函数的是( )
，；
与；
与；
，．
A. B. C. D.
4.已知集合，，若，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知方程的两不等根分别是和，且满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为，沿折叠使点到点位置，交于点研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知，均为正数，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B. 的最小值是
C. 的最大值是 D.
11.设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：，若，，则且，那么称是的一个环则下列说法正确的是( )
A. 若，则，，是的环
B. 若，则存在的一个环，含有个元素
C. 若，则存在的一个环，含有个元素且，
D. 若，则存在的一个环，含有个元素且，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ______．
13.命题：“，使得”的否定为______；若命题为假命题，则实数的取值范围______．
14.已知实数，满足，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求；
若是的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知，，，证明：；
证明：当，时，有．
17.本小题分
设函数．
若，求的解集．
若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
18.本小题分
为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
Ⅰ要使这名研发人员的年总投入不低于调整前名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
Ⅱ为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：
技术人员的年人均投入始终不减少；
研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知有限集，，若，则称为“完全集”．
判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
若为“完全集”，且，用列举法表示集合不需要说明理由；
若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于．
参考答案
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13.，使得
14.
15.解：因为或，，
所以，；
若是的必要条件，则，
当时，，即，
当时，，解得，
故的取值范围为．
16.证明：，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
；
，，
，，即，，
，当且仅当或时取等号，
，则．
17.解：由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为．
由对一切实数恒成立，等价于，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意．
当，则满足，即，解得，
所以的取值范围是．
依题意，等价于，
当时，不等式可化为，解集为．
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为．
18.解：Ⅰ依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
解得，
，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多人；
Ⅱ由技术人员年人均投入不减少有，解得．
存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值，所以，
，即存在这样的满足条件，使得其范围为．
19.解：集合，由完全集的定义：
，，
所以集合为“完全集”．
不妨设，由于，
所以，当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完全集”只有一个，为；
当时，由，
即有，而，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在“完全集”，
综上：“完全集”为．
证明：若，是两个不同的正数，且是完全集，
设，根据根和系数的关系知，，相当于的两个根，
由，解得或舍，
所以，又因为，都是正数，若，都不大于，，，矛盾，
所以，中至少有一个大于．
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