2024-2025学年陕西省西安市陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，为异面直线，平面，平面，，则( )
A. 与，都相交 B. 与，中至少一条相交
C. 与，都不相交 D. 至多与，中的一条相交
2.如果实数，满足等式，那么的最小值是( )
A. B. C. D.
3.如图是正方体，，则与所成的角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4.瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则该三角形的欧拉线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知直线过点，若与轴，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可能是( )
A. B. C. D.
6.已知点，，且点在直线：上，则下列命题中错误的是( )
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 的最小值为 D. 的最大值为
7.已知正三棱台的侧面积为，，，则与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.若方程组至少有一解，且所有的解都是整数解，则有序实数对的组数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，圆：，则( )
A. 圆与圆内切
B. 直线是两圆的一条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 过点作圆的切线有两条
10.在三棱锥中，已知，，点，分别是，的中点，则( )
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
11.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则( )
A.
B. 的最大值是
C. 的取值范围是
D. 的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知，其中若，则 ______．
13.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为，，三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理，，三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距______．
14.连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列；是体积为的正四面体，是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体则的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知坐标平面内两点，．
当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
若直线的方向向量为，求的值．
16.本小题分
已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
求圆心为的圆的标准方程
线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．
17.本小题分
已知圆：，直线：．
若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
若点在直线上运动，，，求的最小值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，为边长为的正三角形，，为中点，点在棱上，且，．
当时，求证平面；
设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值．
19.本小题分
如图，经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为．
当点坐标为时，求直线的方程；
记点关于轴对称点为异于点，，求证：直线恒过轴上一定点，并求出该定点坐标；
求四边形的面积的取值范围．
参考答案
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13.或
14.
15.解：因为倾斜角为锐角，则，而，
即，解得：，
所以的范围为；
直线的方向向量为，可得，
解得：．
16.解：，，
，
弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，
弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，，
圆心坐标为，
圆的半径，
则圆的方程为；
设，线段的中点为．
则，．
端点在圆上运动，
．
把代入得：．
线段的中点的轨迹方程是．
17.解：反射光线恰好平分圆的圆周，
圆：，经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
则有：，解得，所以，
，
直线方程为，即；
由已知点在直线：上，设，
则
，则当时，取得最小值为．
18.证明：取的中点，连接，
因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，
所以以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
根据已知条件得，，，
当时，，所以，
所以，
因为，
所以，即，，
又，而，平面，所以平面．
解：由知，，，
因为为的中心，所以，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，则，
此时，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
即直线与平面所成角正弦的最大值为，此时的值为．
19.解：为，，
的斜率为，又，
的斜率为，又，
直线的方程，即；
根据题意可得直线的斜率存在且不为，又过原点，
设直线方程为，联立圆：，
可得，设，，
则，又，
直线为，
令，可得，
直线恒过轴上定点；
设圆心到直线的距离平方为，则，即，
设圆心到直线的距离平方为，
根据圆的几何性质及平面几何知识易得，，
又，，
四边形的面积
，又，
，即，
四边形的面积的取值范围为
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