2024-2025学年山东省济南市历城二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济南市历城二中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
2.，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知点，，直线过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围( )
A. B.
C. D.
4.在空间四边形中，，设，若向量，则( )
A. B. C. D.
5.点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱柱中，若是等边三角形，为的中点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，在圆：上，点在以为圆心，为半径的圆上，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为( )
A. B. C. D.
8.，，函数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，：，，( )
A. 若，则或
B. 原点到直线的最大距离为
C. 若，则或
D. ：不过第二象限，则
10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆，已知点，，是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹围成区域的面积为
B. 面积的最大值为
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 若的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围为
11.如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为直线上的动点，点为直线上的动点，则( )
A. 对任意的点，一定存在点，使得
B. 向量，，共面
C. 异面直线和所成角的最小值为
D. 存在点，使得直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面、成角的余弦值为______．
13.设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与，不重合，则的最大值为______．
14.在三棱锥中，，且记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边的高所在直线方程为，求：
点和点的坐标；
入射光线经过点，被上的中线反射，反射光线过，求反射光线所在的直线方程．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点．
求点到的距离；
求点到平面的距离；
若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值．
17.本小题分
九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，在阳马中，侧棱平面，且，为的中点，为上的点，．
当时，证明：平面．
判断是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．
求圆的方程；
直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；
过点的直线与圆交于，两点在轴上方，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴已知圆：与圆：
求圆与圆的根轴；
已知点为根轴上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，求直线的方程；
给出定点，设，分别为根轴和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
参考答案
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15.解：边的高所在直线方程为，
可设直线方程为，
将代入有，得，
直线方程为，
联立，解得，故C，
设，又，则，代入中得，
又在直线上，故，
联立与，解得，
故B；
设关于中线对称点坐标为，则反射光线即为所在直线，
其中，解得，故A，
故反射光线方程为，即．
16.解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点，
，，，
，．
设点到的距离为，设，
根据数量积公式，
设，，
在上的投影，．
，，．
则．
点到的距离为，．
，，，
则，．
设平面的法向量，
由且，
可得令，得．
又，
点到平面的距离．
，，
点到平面的距离为．
平面与平面交于直线，，．
根据正方体性质，可知平面的法向量可取．
平面的法向量．
设二面角为，则．
，，．
二面角的余弦值为．
17.解：证明：在阳马中，侧棱平面，且，
为的中点，为上的点，．
侧棱平面，底面为长方形，
以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，
为的中点，为上的点，，即为上的中点，
，
侧棱平面，平面，，
底面为长方形为，有，
，平面，，所以平面，
为面的法向量．
，，
又平面，平面．
存在，使得与平面所成角的正弦值为．
理由如下：
设，，
，，
，即，
，
设平面的法向量为，
由，，
得，令，得，
，，
整理得，，解得，
存在，使得与平面所成角的正弦值为．
18.解：直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．
设圆心，则，
解得或舍，故圆的方程为．
由题意可知圆心到直线的距离为，
则有，解得．
当直线的斜率不存在时，易知满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，
由得，，
若轴平分，则，即，
即，
即，即，即，
当时，上式恒成立，即；
综上，当点的坐标为时，轴平分．
19.解：由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为，
设点为圆与圆的根轴上的任意一点，
则由题可得，即，
整理得，即圆与圆的根轴为直线．
由题意可知且，，，
设与相交于点，
则，
又，
所以，所以取得最小值时即为取得最小值时，
又，所以取得最小值时亦即取得最小值时，
而取得最小值时，且该最小值为圆心到根轴的距离为，
此时：即，
联立，故此时，
所以此时中点坐标为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
则是该圆与圆的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程即为．
设关于根轴：对称的点为，
则，故G，
则由三角形两边之和大于第三边可得，
连接，则此时与圆和根轴相交的点和使得最小为，
且此时，整理得，
联立，即此时，
所以的最小值为，此时．
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