2024-2025学年重庆市西南大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（一）（含答案）

2024-2025学年重庆市西南大学附中高一（上）月考
数学试卷（一）（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. 或 B. 或
C. D.
5.下面命题正确的是( )
A. 使成立的一个充分不必要条件是
B. “”是“”的充要条件
C. 已知，则“”是“”的充要条件
D. 已知，，则“”是“”的必要不充分条件
6.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若将有理数集分成两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为有理数集的一个分割试判断，对于有理数集的任一分割，下列选项中，不可能成立的是( )
A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
10.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
对所有的、，有；
、、，有；
，使得，有，称为单位元；
，，使，称与互为逆元．
则称关于“”构成一个群则下列说法正确的有( )
A. 关于数的乘法构成群
B. 自然数集关于数的加法构成群
C. 实数集关于数的乘法构成群
D. 关于数的加法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合，则的子集个数为______个
13.已知集合，若，则实数的取值范围是______．
14.定义集合的“长度”是，其中，已知集合，，且，都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
我们定义关于的不等式，为“飞升不等式”．
当时，求“飞升不等式”的解集；
若存在，使“飞升不等式”成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合，，．
求，；
求．
17.本小题分
已知集合，集合，命题：，，命题：，，命题：，．
若命题是真命题，求实数的取值范围；
若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知正实数，满足．
求的最小值；
求的最小值；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若，，函数的最小值为，求的值；
若，，，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；
当时，对，若存在实数使得成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，所以不等式即为，即，
即，所以，故“飞升不等式”的解集为．
由题，不等式对有解，即不等式对有解，
而，故，
实数的取值范围．
16.解：由题意可得，或，
由于，
所以或或或，
或；
因为，，
当，即时，，所以，
当，即时，．
若，即时，；
若，即时，；
若，则；
若，则．
17.解：因为命题为真命题，所以，
可得，所以，
可得，
因为，所以，可得，
即的范围为；
：，为真命题时，则，
由于，所以，故，
于是，
由知，
所以；
命题：，为真命题时，
时，，符合题意；
时，，即，
此时且；
故命题为真命题时，有；
所以当真真时不存在；
当假假时．
综上所述，实数的取值范围．
18.解：因为，
所以，
即，
由于，为正数，所以，所以，
于是，
联立，解得，，
即当且仅当，，时等号成立，
所以最小值为；
由知，，所以，
所以，
所以
，
联立，解得，，
当且仅当，，时等号成立，
故最小值为；
，
取等条件，解得，
即时取等号，
所以代数式的最小值为．
19.解：若，时，函数的值域是，
时，函数，不符合题意；
时，应满足且，解得；
综上，；
因为，，不等式化为，
因为有四个整数解，
则有两个不相等实数根，记为，，且，
又因为时，，当时，，
所以，
所以不等式的解集中的四个整数解为，，，，
所以，
所以，
解得，
即的取值范围是；
由题设，
得，又，则，
又，
则，即，
所以存在，使成立，则，
所以，
设，则，则，
所以，且，
而，
当且仅当，即等号成立，所以，仅当且时等号成立．
所以的最小值为．
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