2024-2025学年宁夏银川市银川一中高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年宁夏银川一中高二（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知四面体中，，，，为中点，点在上，且，则( )
A. B.
C. D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
5.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系式为：”用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.直线与圆交于，两点，则弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.由动点向圆：引两条切线，，切点分别为，，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在同一直角坐标系下，直线与圆的位置可能为( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中，不正确的有( )
A. 若，则两条平行直线：和：之间的距离小于
B. 若直线与连接，的线段没有公共点，则实数的取值范围为
C. 已知点，，若直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若集合，满足，则
11.如图，在菱形中，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若，分别为直线，上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 当，时，点到直线的距离为
B. 线段的最小值为
C. 平面平面
D. 当，分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为______．
13.已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是______．
14.已知圆：，，为圆上两个动点，且，为弦的中点，，，当，在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
求的取值范围；
当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值．
16.本小题分
如图，是圆的直径，平面面，且．
求证：平面；
若，，，求直线与面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知直线的方程为．
证明：不论为何值，直线过定点．
过中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上不包括端点，点为中点．
若，求证：直线平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
平面直角坐标系中，圆经过点，，．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ设，过点作直线，交圆于，两点，，不在轴上．
(ⅰ)过点作与直线垂直的直线，交圆于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
(ⅱ)设直线，相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案
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15.解：已知圆：．
则为圆的方程，
即，
即或，
即的取值范围为；
当取最小正整数时，
则，
即圆：，
点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，
则，
又，
则，
即线段的最小值为．
16.解：证明：因为平面面，且，
又平面面，平面，
所以面，又因为平面，
所以，又是圆的直径，所以，
又，，平面，
所以平面；
过作，以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则
而，
所以直线与面所成角的正弦值为：
，．
17.证明：直线的方程，
可整理为，
由，解得，
所以直线过定点；
解：由知，直线过定点，
设过点且与直线垂直的直线方程为，
令，则，
令，则，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
18.解：证明：如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，
，
又，，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又，，
所以平面平面，
平面，
平面；
如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，，
设平面的法向量，
则，取，
设平面的法向量，
则，取，
，
平面与平面的夹角的余弦值为；
存在，或，理由如下：
假设存在点，设，即，，
由得，，，
且平面的法向量，
则，，则，
，设与平面所成角为，
则，
解得或，
故存在点，此时或．
19.解：Ⅰ设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，，
则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，
所以的最大值为；
设，，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
则，
所以，
所以点在定直线上．
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