2024-2025学年山东省潍坊市青州一中高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊市青州一中高二（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若、是异面直线，，，，，则
D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
2.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是( )
A. 或 B. C. D. 或
4.已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
6.过坐标原点向圆：作两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知实数，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 向量在向量上的投影向量为
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 经过点，倾斜角为的直线方程为
10.圆：和圆：的交点为，，则有( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片达样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体若图中每个正方体的棱长为，则( )
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点是三棱锥的底面的重心，若，则的值为______．
13.请写出满足：直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的一条直线的方程为______写出一条即可
14.已知圆：与圆：有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设．
若，且，求向量；
求以为一组邻边的平行四边形的面积．
16.本小题分
已知圆的圆心为，且该圆被直线：截得弦长为．
求该圆的方程；
求过点的该圆的切线方程．
17.本小题分
如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
取中点，求证：平面平面；
若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高在直线方程为．
求顶点的坐标；
求直线的方程；
在轴上是否存在一点，使得轴平分；若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．
求证：平面；
若点为棱的中点，求点到平面的距离；
若点为线段上的动点不包括端点，求锐二面角的余弦值的取值范围．
参考答案
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13.，，写对一个即得分
14.
15.解：由，可得，
若，则，
又，
所以，
解得，
所以或；
由，，可得，，
所以，，，
所以，
所以，
所以．
16.解：圆的圆心到直线：的距离为：
，
则弦长为，解得，
所以圆的方程为：；
当直线的斜率不存在时，直线方程为：，
则圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为：，
综上：该圆的切线方程为：或．
17.解：证明：如图，在射线上取点，使，连接，
由题设，得，所以四边形为平行四边形，
所以且，
又四边形为平行四边形，
所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又，则，且平面，平面，
所以平面，且，，平面，
所以平面平面；
因为平面，，平面，
所以，又，
所以，，两两相互垂直，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，，于是，又，
设直线与平面所成角为，
所以
，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为边上的高所在直线方程为，设直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
所以直线的方程为，
联立，解得的坐标为；
设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率为，方程为．
设在轴上存在一点，使得轴平分；
则，解得，
所以存在点，使得轴平分．
19.证明：法一：连结，为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
，，平面
平面，又平面，，
由题设知四边形为菱形，，
，分别为，中点，，，
，，，平面，
平面．
法二：由平面，，平面，，，
又为等边三角形，为中点，，
则以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，，
，
，
又，，，平面，平面．
解：由坐标法得，
平面的一个法向量为，
点到到平面的距离．
解：，
设，则，
，，；
由知平面，
平面的一个法向量
设平面的法向量，
则，，即，令，则，，，
，
令，则，
，
，，，
即锐二面角的余弦值的取值范围为．
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