2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--第八章 向量的数量积与三角恒等变换复习提升

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2025人教B版高中数学必修第三册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对向量的夹角理解有误致错
1.(2023浙南名校联盟期中)在△ABC中,已知命题p:△ABC为钝角三角形,命题q:>0,则p是q的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,||=5,∠A=30°,则=　　　　.
易错点2　混淆实数运算与向量的数量积运算致错
3.(多选题)(2022广东广州执信中学月考)设平面向量a,b,c均为非零向量,则下列命题中正确的是(　　)
A.若a·b=a·c,则b=c
B.若|a·b|=|a||b|,则a与b同向
C.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若(a·b)·c=a·(b·c),则a∥c
易错点3　忽略向量平行的隐含条件致错
4.(2024山东菏泽东明第一中学月考)若平面向量a,b,c两两间的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=(　　)
A.2　　　　B.5　　　　C.2或5　　　　D.或5
5.(2024山东临沂莒南第一中学月考)已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角为30°,若向量a+b与λa-b的夹角为钝角,则λ的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)　　　　　　B.
C.(-∞,-1)∪
易错点4　忽略角的范围致错
6.(2022浙江宁波北仑中学期中)在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为　　　　.
7.(2024北京第四中学期中)已知θ为第二象限角,且sin,则tan θ=　　　　.
8.(2024四川内江第六中学月考)已知sin(2α-β)=,sin β=-,且<β<0.
(1)求cos 2α的值;
(2)求角α-β的大小.
易错点5　忽略角的特殊关系致错
9.(2024安徽六安期末)已知cos,则sin=(　　)
A.
10.(2024北京海淀期末)若sin,则cos=(　　)
A.-
11.(2023江苏苏州第十中学期初考试)已知θ为锐角,cos(θ+15°)=,则cos(2θ-15°)=　　　　.
思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　
一、函数与方程思想在向量运算中的应用
1.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,且=μ,若,则λ+μ=(　　)
A.
2.(2023湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛.如图,分别以等边三角形ABC的顶点为圆心,边长为半径作圆弧,由这三段圆弧围成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形ABC的边长为1,P为弧上的一个动点,则·()的最小值为　　　　.
3.(2024吉林省实验中学期中)已知平面向量a,b不共线,且|a|=1,a·b=1,记b与2a+b的夹角是θ,则θ最大时,|a-b|=　　　　.
二、数形结合思想在向量运算中的应用
4.(2024福建厦门双十中学月考)已知O是△ABC所在平面内一点,且|=1,则∠ABC的最大值为(　　)
A.
5.(2023浙南名校联盟期中)已知正△ABC的边长为1,点D满足,P为直线AD上的动点,上的投影向量为m,则实数m的取值范围为　　　　.
三、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用
6.(多选题)(2022湖北黄冈期末)已知α为第一象限角,β为第三象限角,且sin,则cos(α+β)可以为(　　)
A.-
7.(2023河南洛阳第一高级中学月考)已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且f =0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若α∈cos 2α=0,求cos α-sin α的值.
四、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
8.(2024江苏扬州邗江一中月考)已知α为锐角,则“α=54°”是“sin 36°(1+sin α)=2cos218°cos α”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.(2024重庆期末)已知α,β满足-,则sin(α+β)=　　　　.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　若>0,则-||·||·cos B>0,即cos B<0,又B∈(0,π),所以B为钝角,故必要性成立;
由△ABC为钝角三角形不一定得出B为钝角,故充分性不成立.
故p是q的必要不充分条件.
故选B.
易错警示　在求向量夹角时,一定要先看两向量是否共起点,若不共起点,则需先将向量平移到同一起点再计算.
2.答案　-15
解析　因为||=5,∠A=30°,
所以|·||·cos 150°=6×5×.
3.CD　由a·b=a·c得a·(b-c)=0,显然b=c不一定成立,故A错误;若|a·b|=|a||b|,则向量a,b的夹角为0或π,故a与b同向或反向,故B错误;将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0,即a⊥b,故C正确;(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,所以若(a·b)·c=a·(b·c),则a∥c,故D正确.故选CD.
易错警示　向量的数量积运算不满足消去律和乘法的结合律,满足分配律,注意与实数的运算法则的区别.
4.C　由向量a,b,c两两间的夹角相等,得===0或===,
当===0时,|a+b+c|=5;当===时,|a+b+c|==
=2.故选C.
5.C　由|a|=,|b|=2,a与b的夹角为30°,可得a·b=|a|·|b|·cos 30°==3.
∵向量a+b与λa-b的夹角为钝角,∴(λa-b)·(a+b)=λa2+(λ-1)a·b-b2=3λ+3(λ-1)-4=6λ-7<0,∴λ<,
又λ=-1时,λa-b与a+b反向共线,此时它们的夹角为平角,而不是钝角,∴λ<,且λ≠-1.
故选C.
易错警示　向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,容易忽略向量共线的情况,所以求解时要排除向量共线的情况.
6.答案　
解析　由题意知
①、②左右两边分别平方并相加,得9+16+24sin(A+B)=37,∴sin(A+B)=.
∴在△ABC中,sin C=或C=.
若C=,则A+B=,∵1-3cos A=4sin B>0,
∴cos A<.又∵,此时A+C>π,不符合题意,∴C≠.
易错警示　本题的易错点在于不能利用“1-3cos A=4sin B>0”判定“A>”,从而导致错解.在审题、解题过程中要及时根据三角函数值的大小变化调控角的范围,防止多解.缩小角的范围可以从以下方面考虑:①利用已知角的范围构造所求角的范围;②利用三角函数值的符号确定角的范围;③利用三角函数值的大小缩小角的范围.
7.答案　-
解析　∵θ为第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),∴kπ+(k∈Z),
又sin>0,
∴2kπ+(k∈Z),
∴cos,
∴2sin=cos θ=-,
∴sin θ=,∴tan θ=.
8.解析　(1)因为<α<π,所以π<2α<2π.
又-<β<0,所以0<-β<,所以π<2α-β<.
而sin(2α-β)=>0,所以2π<2α-β<,
(除了条件中明确的α,β的范围外,根据sin(2α-β)的符号能进一步精准确定2α-β的取值范围)
所以cos(2α-β)=.
由-<β<0且sin β=-,得cos β=,
所以cos 2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β=.
(2)因为cos 2α=2cos2α-1=,且<α<π,
所以cos α=-,sin α=,
则sin(α-β)=sin[(2α-β)-α]=sin(2α-β)cos α-cos(2α-β)sin α=.
又,
所以,
所以α-β=.
9.B　因为,所以cos,则sin,
即tan=2,
所以sin=
.
故选B.
10.A　∵sin=2cos2 .故选A.
11.答案　
解析　∵θ为锐角,cos(θ+15°)=,
∴sin(θ+15°)=.
∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=,
cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×.
∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)·cos 45°+sin(2θ+30°)sin 45°=.
易错警示　不能转化“2θ-15°”为特殊角及已知角的和、差,导致无法求解或错解.
思想方法练
1.D　构建关于λ,μ的方程组,进而解决问题.
由题意得)·(=2×2×cos 120°+·μ·μ=-2+4μ+4λ-2λμ=1,即4λ+4μ-2λμ=3①,
·(-·(1-μ)·(1-μ)=(1-λ)(1-μ)×2×2×cos 120°=-2(1-λ-μ+λμ)=-,即-λ-μ+λμ=-②.
联立①②,得λ+μ=.
2.答案　
解析　以C为坐标原点,BC所在直线为x轴,过点C且与直线BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,
则A,B(-1,0),C(0,0).
设P(cos θ,sin θ),θ∈,
则=(-1-cos θ,-sin θ),=(-cos θ,-sin θ),
∴·(·(-1-2cos θ)+·(-2sin θ)
=+2cos θ+2cos2θ-sin θ+2sin2θ
=
=cos(θ+φ),其中tan φ=.
将向量与三角函数结合起来,利用三角函数的有界性求向量数量积的最值.
∵sin φ>0,cos φ>0,∴,
∴当θ+φ=π时,·()取得最小值,为.
3.答案　
解析　设|b|=x,则b·(2a+b)=2a·b+b2=2+x2,
(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4+4+x2=8+x2,
所以|2a+b|=,
所以cos θ=.
将cos θ转化为关于x的函数,利用函数知识求θ取得最大值时x的值,进而解决问题.
所以cos2θ=,
易知当x2=4,即x=2时,cos2θ取得最小值,此时θ取得最大值,(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2+4=3,所以|a-b|=.
思想方法　在研究向量的数量积问题时,将条件化为等式或函数式,通过方程或函数的知识求解是一种常用的方法.
4.B　根据=1可得)·=2,所以|,则C点在以A为圆心,为半径的圆上.
根据题意作出图形,结合图形解决问题.
如图所示:
由图可知,当BC与圆相切时,∠ABC取得最大值,
又|,则∠ABC=.故选B.
5.答案　
解析　如图,以BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
根据题意作出图形,结合图形解决问题.
则A.
所以.
设,则P,
所以.
易知,所以m=,即m=.
当3-2t>0时,m=,
设x=(x>0),则m=,
易知x=时,y=取得最小值1,
所以当x=时,m取得最大值1,所以0当3-2t<0时,m=,
设x'=(x<0),则m=,
易知x'∈(-∞,0)时,y=单调递减,
所以y∈,所以-当3-2t=0时,m=0.
综上,实数m的取值范围为-思想方法　平面向量兼具数与形的双重特性,是代数和几何的桥梁,在解题时结合图形来阐述数值间的联系能使问题变得形象、直观.
6.CD　因为α为第一象限角,所以α∈,k∈Z,所以α+,k∈Z.
又sin,
所以α+是第二象限角,
所以cos.
因为β为第三象限角,所以β∈,k∈Z,所以β-,k∈Z.
又cos,所以β-是第二象限角或第三象限角.
对β-是第二象限角或第三象限角分别求sin的值,进而求cos(α+β).
当β-是第二象限角时,sin,此时cos(α+β)=cos·cos.
当β-是第三象限角时,sin,此时cos(α+β)=cos·cos.故选CD.
7.解析　(1)因为f(x)=cos(x+θ)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),即cos(-x+θ),整理得cos xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈(0,π),所以θ=,
所以f(x)=-sin x.
由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1.
(2)由(1)易知f(x)=-sin 2x.
fcos 2α=0,
即sincos 2α.
因为cos 2α=sin=
2sin,
所以sin·sin.
因为α∈,所以α+,
所以sin=0或cos2.
结合α+的取值范围对sin分等于0和不等
于0讨论.
由sinα+=0,得α=,
所以cos α-sin α=cos -sin .
由cos2,
得cosα+=-,
所以(cos α-sin α)=-,
所以cos α-sin α=-.
综上,cos α-sin α=-或-.
思想方法　在三角恒等变换中,有关角所在的象限,三角函数值符号的选取,参数的取值范围等,解题时有时需对其进行分类讨论.
8.C　sin 36°(1+sin α)=2sin 18°cos 18°(1+sin α)=2cos218°cos α,
利用三角恒等变换公式,将异角化为同角.
故sin 18°=cos 18°cos α-sin 18°sin α,
即cos 72°=cos(18°+α).
因为0°<α<90°,
所以18°<18°+α<108°,
所以72°=18°+α,解得α=54°.
故“α=54°”是“sin 36°(1+sin α)=2cos218°cos α”的充要条件.故选C.
9.答案　-
解析　因为-,
所以-<π,
又因为sin,
所以cos,
结合诱导公式,将所求角转化为两个已知角的和.
所以sin(α+β)=-cos
=-cos
=sin
=-.
思想方法　转化与化归思想在三角恒等变换中的应用:①化多角的形式为单角的形式;②化多种函数名称为一种函数名称;③化未知角为已知角;④化高次为低次;⑤化非特殊角为特殊角.
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