2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--第七章 三角函数 拔高练
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--第七章 三角函数 拔高练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 461.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 10:42:16 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第三册
综合拔高练
五年高考练
考点1 三角函数的概念
1.(2023全国甲理,7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.(2023全国乙文,14)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ= .
3.(2024北京,12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为 .
考点2 三角函数图象的变换及应用
4.(2022浙江,6)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.(2022全国甲理,5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间-的图象大致为( )
6.(2023全国甲理,10)函数y=f(x)的图象由函数y=cos个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024新课标Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
8.(2023新课标Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
考点3 三角函数的性质
9.(2021新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是( )
A. B.
C. D.
10.(2024天津,7)已知函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期为π.则函数在上的最小值是 ( )
A.- B.-
C.0 D.
11.(多选题)(2024新课标Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有( )
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
12.(2022全国甲文,5)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
A. B.
C. D.
13.(2022新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
14.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f =( )
A.- B.-
C. D.
15.(2023全国甲理,13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a= .
16.(2022全国乙理,15)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
三年模拟练
应用实践
1.(2024山西运城期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算,其中将圆环形或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝).书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为( )
A.600平方步 B.640平方步
C.660平方步 D.700平方步
2.(2023山东青岛期末)若θ为第二象限角,且tan(θ -π)=-,则的值是( )
A.4 B.-4 C. D.-
3.(2024江苏南京期末)已知sin α+2cos α=,则=( )
A.-3 B.- C.- D.
4.(2024天津十二区重点学校一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
①f(x)≤f ;②函数f为偶函数;
③f(x)+f=2;④f(x)在上单调递增.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③④
C.③④ D.①④
5.(多选题)(2023重庆七校期末联考)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若函数f(x)在区间上单调,且-f,则下列说法中正确的是( )
A.点是函数f(x)图象的一个对称中心
B.函数f(x)的最小正周期为
C.直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴
D.函数f(x)的图象可由函数y=cos ωx的图象向左平移个单位得到
6.(多选题)(2023福建龙岩上杭一中期末)已知函数f(x)=sin(|cos x|)+cos(|sin x|),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B. f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C. f(x)在区间上单调递减
D.方程f(x)=x恰有三个不相等的实数根
7.(2024安徽六安一中期末)已知方程-2sin πx=0,则当x∈[-2,4]时,该方程所有实根的和为 .
8.(2024山东济宁第一中学期末)已知函数f(x)=sin上单调递增,且将f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合.若方程f(x)=-上的两个不同实数解分别为x1,x2,则f(x1+x2)= .
9.(2024江苏常州期末)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,若f(x)+g(x)=2x,则曲线y=与y=sin x在区间[-2 024π,2 024π]上的公共点的个数为 .
10.(2022山东潍坊一模)设函数y=sin上的最大值为g1(t),最小值为g2(t),则g1(t)-g2(t)的最小值为 .
11.(2023辽宁沈阳东北育才学校段考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求A,ω和φ的值;
(2)求函数y=f(x)在[1,2]上的单调递减区间;
(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2 020个零点,求b-a的取值范围.
迁移创新
12.(2024江苏南京期末)如图,有一条宽为30 m的笔直的河道(假设河道足够长),规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)用来种植荷花并供旅客观赏,若C,B两点分别在两岸l1,l2上,且AB⊥AC,顶点A到河两岸l1,l2的距离分别为AE=h1 m,AD=h2 m,设∠ABD=α.
(1)若α=30°,求荷花种植面积(单位:m2)的最大值;
(2)若h2=4h1,且荷花的种植面积为150 m2,求sin α的值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B ∵∴sin2α=cos2β,∴|sin α|=|cos β|,推不出sin α+cos β=0,∴充分性不成立;
∵sin α+cos β=0,∴sin α=-cos β,∴sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,∴必要性成立.
∴甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
2.答案 -
解析 由tan θ=,得sin θ=cos θ,代入sin2θ+cos2θ=1,可得cos2θ=,又因为θ∈,所以cos θ=,则sin θ=,所以sin θ-cos θ=-.
3.答案 -
解析 ∵角α与角β的终边关于原点对称,
∴β=α+π+2kπ,k∈Z,
∴cos β=cos(α+π)=-cos α,
∵≤α≤,
∴≤cos α≤≤cos β≤-,
∴cos β的最大值为-.
4.D 因为y=2sin,所以把函数y=2sin个单位长度,可以得到y=2sin 3x的图象.故选D.
5.A 设f(x)=(3x-3-x)cos x.∵f(-x)=(3-x-3x)·cos(-x)=-f(x),且区间关于原点对称,
∴f(x)为奇函数,故排除B,D.
又f(1)=cos 1>0,故排除C.故选A.
6.C 由题知,f(x)=cos=-sin 2x.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)=-sin 2x的图象与直线y=,如图所示,
由图知,y=f(x)的图象与直线y=共有3个交点.故选C.
7.C 如图所示,分别作出y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象,由图可知曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为6.
8.答案 -
解析 设A,则|AB|=x2-x1=.
由题图可知k1∈Z,
则ω(x2-x1)=,故ω=4.
又函数图象过点,所以结合题图知4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z),
所以f(x)=sin(k∈Z),
故f(π)=sin.
9.A 令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤.故选A.
10.D 因为函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期T==π,所以ω=2,
所以f(x)=3sin,设t=2x+,
当x∈时,t=2x+,由正弦函数的图象(图略)可得≤sin t≤1,
所以当x∈时,≤f(x)≤3.故所求的最小值为,故选D.
11.BC A.令sin 2x=0,则2x=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
令sin=0,则2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
∴f(x)与g(x)的零点不同,∴A错.
B. f(x)与g(x)的最大值均为1,∴B对.
C. f(x)与g(x)的最小正周期均为=π,∴C对.
D.令2x=+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,则f(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z,
同理可知g(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z,
∴f(x)与g(x)的图象的对称轴不同,∴D错.故选BC.
12.C 设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),
则g(x)=sin,
又曲线C关于y轴对称,∴+kπ(k∈Z),∴ω=2k+(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=.故选C.
13.A ∵<π,∴2<ω<3①.
∵y=f(x)的图象关于点中心对称,
∴(k∈Z)②.
由①②知ω=(取k=4).
∴f(x)=sin+2,∴f +2=1.
14.D 由题意画出f(x)图象的简图(如图).
设f(x)的最小正周期为T,由图可知,又T=,所以|ω|=2,
不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
将代入,得sin=-1,所以+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin,k∈Z,
故f.故选D.
15.答案 2
解析 f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1.由f(x)为偶函数得f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,所以2(a-2)x=0,所以a=2.
16.答案 3
解析 ∵T=,ω>0, f(T)=,
∴cos,∴cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,
又f=0,
∴(k∈Z),∴(k∈Z),
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.
三年模拟练
1.C 由题意得,r外==25步,r内==19步,
因此该“环田”的面积S=×5×(252-192)=660平方步.故选C.
2.B 由tan(θ-π)=-,得tan θ=-.
原式===
==-4.故选B.
3.C 因为sin α+2cos α=,
所以sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,
则,
所以,即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
易得,
当tan α=3时,;当tan α=-时,.故选C.
4.B 由题图可得A==1.由题及ω>0得f(x)的最小正周期T==π,所以ω==2.
由f=0,结合五点法可知+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,故φ=,所以f(x)=sin+1.
对于①,f+1=2,即f是函数f(x)的最大值,故①正确;
对于②,f+1,令g(x)=sin+1,其定义域为R,g(-x)=sin+1≠g(x),故②错误;
对于③, f+1=sin-2x++1=-sin+1,
则f(x)+f+1=2,故③正确;
对于④,当x∈时,2x+,
由正弦函数的单调性,可知y=sin x在上单调递增,所以函数f(x)在上单调递增,故④正确.故选B.
5.ACD 因为-f,所以是f(x)的零点,所以是f(x)图象的一个对称中心,故A正确.
因为函数f(x)在区间上单调,
所以,即T≥,故B错误.
因为f,所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,所以k·,k∈Z,则T=,k∈Z,因为T≥,k∈Z,所以T=π,所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,故C正确.
由上述分析可得ω=2,则f(x)=cos(2x+φ).因为直线x=是f(x)图象的一条对称轴,所以f=±1.因为0<φ<π,所以,所以+φ=π,解得φ=,所以f(x)=cos.
y=cos 2x的图象向左平移个单位得y=cos的图象,故D正确.
故选ACD.
6.ACD ∵f=sin(|sin x|)+cos(|cos x|),
f=sin(|sin x|)+cos(|cos x|),
∴f,
∴f(x)的图象关于直线x=对称,故A正确.
∵f(π+x)=sin(|cos(π+x)|)+cos(|sin(π+x)|)=sin(|cos x|)+cos(|sin x|)=f(x),∴f(x)的最小正周期为π,故B不正确.
当x∈时,cos x∈(0,1),则y=sin(|cos x|)=sin(cos x),易知函数t=cos x在x∈上单调递减,y=sin t在t∈(0,1)上单调递增,所以y=sin(|cos x|)=sin(cos x)在x∈上单调递减,同理可得y=cos(|sin x|)=cos(sin x)在上单调递减,故函数f(x)在区间上单调递减,故C正确.
易知f(x)为偶函数,由上述分析可知, f(x)的周期为π,且在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
令g(x)=x,因为f(0)=sin 1+1>g(0)=0, f=cos 1又f(π)=sin 1+1>sin,故函数f(x)与g(x)的图象在区间内有且只有一个交点.
又f=cos 1因为f(2π)=sin 1+12π或x≤0时,两函数图象无交点.
综上所述,方程f(x)=x恰有三个不相等的实数根.故D正确.故选ACD.
7.答案 8
解析 方程-2sin πx=0,即=2sin πx,令f(x)=,g(x)=2sin πx,易知f(x)=的图象可由y=-的图象向右平移1个单位得到,故f(x)=的图象关于点(1,0)对称,易知点(1,0)也是g(x)=2sin πx的图象的一个对称中心.在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象,如图,
观察它们在x∈[-2,4]上的图象,可知二者的图象在[-2,4]上共有8个交点,且这8个交点两两成对关于点(1,0)对称,每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2,故8个交点的横坐标的和为2×4=8,即方程-2sin πx=0所有实根的和为8.
8.答案
解析 设f(x)的最小正周期为T,则T≥,故T≥,又将f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合,故π为函数f(x)的一个周期,故T=π,即=π,解得ω=±2,
若ω=-2,则f(x)=sin,当x∈时,2x-,
因为y=-sin z在z∈上单调递减,所以f(x)在x∈上单调递减,不符合要求;
若ω=2,则f(x)=sin,当x∈时,2x+,此时f(x)=sin上单调递增,满足要求,
则f(x)=sin.
令sin,当x∈时,2x+∈(π,2π),结合图象的对称性可得,即x1+x2=,故f(x1+x2)=f=sin2×=sin.
9.答案 4 047
解析 因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x),
又f(x)+g(x)=2x①,所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2-x②,
联立①②,得f(x)=(2x+2-x).
则y=.
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以y=为奇函数.
由复合函数的单调性,得y=1-是R上的增函数,
又4x>0,故4x+1>1,即0<<2,故-1<1-<1,
所以y=1-的值域为(-1,1),
易知y=sin x为奇函数,所以曲线y=与曲线y=sin x在区间[-2 024π,2 024π]上的交点情况可以分为[-2 024π,0],[0,2 024π]两部分进行分析,
又曲线y=sin x的周期为2π,故当x∈[0,2 024π]时,一个周期内有两个交点,则一共有2 024个交点;
当x∈[-2 024π,0]时,一个周期内有两个交点,则一共有2 024个交点,
而在两部分内都包含交点(0,0),所以曲线y=与y=sin x在区间[-2 024π,2 024π]上一共有4 047个交点.
10.答案
解析 易知函数y=sin的最小正周期T=,所以区间的长度是函数y=sin.所以当区间关于y=sin的图象的对称轴对称时,g1(t)-g2(t)取得最小值.易知,所以当x=t+时,函数y=sin取得最值±1.不妨设g1(t)=1,则sin=1,所以sin=1,即2t++2kπ,k∈Z,解得t=kπ-,k∈Z,所以g2(t)=sin=sin2kπ+=,k∈Z,所以g1(t)-g2(t)的最小值为.
11.解析 (1)由题图可得A=1,最小正周期T=2×=2,则ω==π.
易知当x=时, f(x)取得最大值,
则+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),
又因为|φ|<,所以φ=-.
(2)由(1)可知f(x)=sin,
令+2kπ≤πx-+2kπ,k∈Z,
解得+2k≤x≤+2k,k∈Z.
故f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
取k=0,可得f(x)在[1,2]上的单调递减区间为.
(3)令f(x)=sin=0,得πx-=kπ,k∈Z,解得x=k+,k∈Z,所以f(x)在上有两个零点.
因为f(x)的最小正周期为2,所以若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2 020个零点,则1 009×2+1≤b-a<1 010×2+1,故b-a的取值范围为[2 019,2 021).
12.解析 (1)由题可得AB= m,AC= m,α∈,
当α=30°时,AB=2h2 m,AC=h1 m,
所以S△ABC=AB·AC=h1h2.
又因为h1+h2=30,h1,h2≥0,
所以S△ABC=h1h2≤,当且仅当h1=h2=15时取等号.
所以荷花种植面积的最大值为150 m2.
(2)因为h1+h2=30,h2=4h1,所以h1=6,h2=24,
故AB= m,AC= m,α∈,
从而S△ABC=AB·AC==150,
所以sin αcos α=①.
又因为sin2α+cos2α=1,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=.
又因为α∈,所以sin α+cos α=②,
联立①②,解得故sin α的值为.
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2025人教B版高中数学必修第三册
综合拔高练
五年高考练
考点1 三角函数的概念
1.(2023全国甲理,7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.(2023全国乙文,14)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ= .
3.(2024北京,12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为 .
考点2 三角函数图象的变换及应用
4.(2022浙江,6)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.(2022全国甲理,5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间-的图象大致为( )
6.(2023全国甲理,10)函数y=f(x)的图象由函数y=cos个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024新课标Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
8.(2023新课标Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
考点3 三角函数的性质
9.(2021新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是( )
A. B.
C. D.
10.(2024天津,7)已知函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期为π.则函数在上的最小值是 ( )
A.- B.-
C.0 D.
11.(多选题)(2024新课标Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有( )
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
12.(2022全国甲文,5)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
A. B.
C. D.
13.(2022新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T.若
C. D.3
14.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f =( )
A.- B.-
C. D.
15.(2023全国甲理,13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a= .
16.(2022全国乙理,15)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
三年模拟练
应用实践
1.(2024山西运城期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算,其中将圆环形或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝).书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为( )
A.600平方步 B.640平方步
C.660平方步 D.700平方步
2.(2023山东青岛期末)若θ为第二象限角,且tan(θ -π)=-,则的值是( )
A.4 B.-4 C. D.-
3.(2024江苏南京期末)已知sin α+2cos α=,则=( )
A.-3 B.- C.- D.
4.(2024天津十二区重点学校一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
①f(x)≤f ;②函数f为偶函数;
③f(x)+f=2;④f(x)在上单调递增.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③④
C.③④ D.①④
5.(多选题)(2023重庆七校期末联考)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若函数f(x)在区间上单调,且-f,则下列说法中正确的是( )
A.点是函数f(x)图象的一个对称中心
B.函数f(x)的最小正周期为
C.直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴
D.函数f(x)的图象可由函数y=cos ωx的图象向左平移个单位得到
6.(多选题)(2023福建龙岩上杭一中期末)已知函数f(x)=sin(|cos x|)+cos(|sin x|),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B. f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C. f(x)在区间上单调递减
D.方程f(x)=x恰有三个不相等的实数根
7.(2024安徽六安一中期末)已知方程-2sin πx=0,则当x∈[-2,4]时,该方程所有实根的和为 .
8.(2024山东济宁第一中学期末)已知函数f(x)=sin上单调递增,且将f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合.若方程f(x)=-上的两个不同实数解分别为x1,x2,则f(x1+x2)= .
9.(2024江苏常州期末)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,若f(x)+g(x)=2x,则曲线y=与y=sin x在区间[-2 024π,2 024π]上的公共点的个数为 .
10.(2022山东潍坊一模)设函数y=sin上的最大值为g1(t),最小值为g2(t),则g1(t)-g2(t)的最小值为 .
11.(2023辽宁沈阳东北育才学校段考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求A,ω和φ的值;
(2)求函数y=f(x)在[1,2]上的单调递减区间;
(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2 020个零点,求b-a的取值范围.
迁移创新
12.(2024江苏南京期末)如图,有一条宽为30 m的笔直的河道(假设河道足够长),规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)用来种植荷花并供旅客观赏,若C,B两点分别在两岸l1,l2上,且AB⊥AC,顶点A到河两岸l1,l2的距离分别为AE=h1 m,AD=h2 m,设∠ABD=α.
(1)若α=30°,求荷花种植面积(单位:m2)的最大值;
(2)若h2=4h1,且荷花的种植面积为150 m2,求sin α的值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B ∵∴sin2α=cos2β,∴|sin α|=|cos β|,推不出sin α+cos β=0,∴充分性不成立;
∵sin α+cos β=0,∴sin α=-cos β,∴sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,∴必要性成立.
∴甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
2.答案 -
解析 由tan θ=,得sin θ=cos θ,代入sin2θ+cos2θ=1,可得cos2θ=,又因为θ∈,所以cos θ=,则sin θ=,所以sin θ-cos θ=-.
3.答案 -
解析 ∵角α与角β的终边关于原点对称,
∴β=α+π+2kπ,k∈Z,
∴cos β=cos(α+π)=-cos α,
∵≤α≤,
∴≤cos α≤≤cos β≤-,
∴cos β的最大值为-.
4.D 因为y=2sin,所以把函数y=2sin个单位长度,可以得到y=2sin 3x的图象.故选D.
5.A 设f(x)=(3x-3-x)cos x.∵f(-x)=(3-x-3x)·cos(-x)=-f(x),且区间关于原点对称,
∴f(x)为奇函数,故排除B,D.
又f(1)=cos 1>0,故排除C.故选A.
6.C 由题知,f(x)=cos=-sin 2x.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)=-sin 2x的图象与直线y=,如图所示,
由图知,y=f(x)的图象与直线y=共有3个交点.故选C.
7.C 如图所示,分别作出y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象,由图可知曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为6.
8.答案 -
解析 设A,则|AB|=x2-x1=.
由题图可知k1∈Z,
则ω(x2-x1)=,故ω=4.
又函数图象过点,所以结合题图知4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z),
所以f(x)=sin(k∈Z),
故f(π)=sin.
9.A 令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤.故选A.
10.D 因为函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期T==π,所以ω=2,
所以f(x)=3sin,设t=2x+,
当x∈时,t=2x+,由正弦函数的图象(图略)可得≤sin t≤1,
所以当x∈时,≤f(x)≤3.故所求的最小值为,故选D.
11.BC A.令sin 2x=0,则2x=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
令sin=0,则2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
∴f(x)与g(x)的零点不同,∴A错.
B. f(x)与g(x)的最大值均为1,∴B对.
C. f(x)与g(x)的最小正周期均为=π,∴C对.
D.令2x=+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,则f(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z,
同理可知g(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z,
∴f(x)与g(x)的图象的对称轴不同,∴D错.故选BC.
12.C 设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),
则g(x)=sin,
又曲线C关于y轴对称,∴+kπ(k∈Z),∴ω=2k+(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=.故选C.
13.A ∵<π,∴2<ω<3①.
∵y=f(x)的图象关于点中心对称,
∴(k∈Z)②.
由①②知ω=(取k=4).
∴f(x)=sin+2,∴f +2=1.
14.D 由题意画出f(x)图象的简图(如图).
设f(x)的最小正周期为T,由图可知,又T=,所以|ω|=2,
不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
将代入,得sin=-1,所以+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin,k∈Z,
故f.故选D.
15.答案 2
解析 f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1.由f(x)为偶函数得f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,所以2(a-2)x=0,所以a=2.
16.答案 3
解析 ∵T=,ω>0, f(T)=,
∴cos,∴cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,
又f=0,
∴(k∈Z),∴(k∈Z),
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.
三年模拟练
1.C 由题意得,r外==25步,r内==19步,
因此该“环田”的面积S=×5×(252-192)=660平方步.故选C.
2.B 由tan(θ-π)=-,得tan θ=-.
原式===
==-4.故选B.
3.C 因为sin α+2cos α=,
所以sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,
则,
所以,即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
易得,
当tan α=3时,;当tan α=-时,.故选C.
4.B 由题图可得A==1.由题及ω>0得f(x)的最小正周期T==π,所以ω==2.
由f=0,结合五点法可知+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,故φ=,所以f(x)=sin+1.
对于①,f+1=2,即f是函数f(x)的最大值,故①正确;
对于②,f+1,令g(x)=sin+1,其定义域为R,g(-x)=sin+1≠g(x),故②错误;
对于③, f+1=sin-2x++1=-sin+1,
则f(x)+f+1=2,故③正确;
对于④,当x∈时,2x+,
由正弦函数的单调性,可知y=sin x在上单调递增,所以函数f(x)在上单调递增,故④正确.故选B.
5.ACD 因为-f,所以是f(x)的零点,所以是f(x)图象的一个对称中心,故A正确.
因为函数f(x)在区间上单调,
所以,即T≥,故B错误.
因为f,所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,所以k·,k∈Z,则T=,k∈Z,因为T≥,k∈Z,所以T=π,所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,故C正确.
由上述分析可得ω=2,则f(x)=cos(2x+φ).因为直线x=是f(x)图象的一条对称轴,所以f=±1.因为0<φ<π,所以,所以+φ=π,解得φ=,所以f(x)=cos.
y=cos 2x的图象向左平移个单位得y=cos的图象,故D正确.
故选ACD.
6.ACD ∵f=sin(|sin x|)+cos(|cos x|),
f=sin(|sin x|)+cos(|cos x|),
∴f,
∴f(x)的图象关于直线x=对称,故A正确.
∵f(π+x)=sin(|cos(π+x)|)+cos(|sin(π+x)|)=sin(|cos x|)+cos(|sin x|)=f(x),∴f(x)的最小正周期为π,故B不正确.
当x∈时,cos x∈(0,1),则y=sin(|cos x|)=sin(cos x),易知函数t=cos x在x∈上单调递减,y=sin t在t∈(0,1)上单调递增,所以y=sin(|cos x|)=sin(cos x)在x∈上单调递减,同理可得y=cos(|sin x|)=cos(sin x)在上单调递减,故函数f(x)在区间上单调递减,故C正确.
易知f(x)为偶函数,由上述分析可知, f(x)的周期为π,且在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
令g(x)=x,因为f(0)=sin 1+1>g(0)=0, f=cos 1
又f=cos 1
综上所述,方程f(x)=x恰有三个不相等的实数根.故D正确.故选ACD.
7.答案 8
解析 方程-2sin πx=0,即=2sin πx,令f(x)=,g(x)=2sin πx,易知f(x)=的图象可由y=-的图象向右平移1个单位得到,故f(x)=的图象关于点(1,0)对称,易知点(1,0)也是g(x)=2sin πx的图象的一个对称中心.在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象,如图,
观察它们在x∈[-2,4]上的图象,可知二者的图象在[-2,4]上共有8个交点,且这8个交点两两成对关于点(1,0)对称,每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2,故8个交点的横坐标的和为2×4=8,即方程-2sin πx=0所有实根的和为8.
8.答案
解析 设f(x)的最小正周期为T,则T≥,故T≥,又将f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合,故π为函数f(x)的一个周期,故T=π,即=π,解得ω=±2,
若ω=-2,则f(x)=sin,当x∈时,2x-,
因为y=-sin z在z∈上单调递减,所以f(x)在x∈上单调递减,不符合要求;
若ω=2,则f(x)=sin,当x∈时,2x+,此时f(x)=sin上单调递增,满足要求,
则f(x)=sin.
令sin,当x∈时,2x+∈(π,2π),结合图象的对称性可得,即x1+x2=,故f(x1+x2)=f=sin2×=sin.
9.答案 4 047
解析 因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x),
又f(x)+g(x)=2x①,所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2-x②,
联立①②,得f(x)=(2x+2-x).
则y=.
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以y=为奇函数.
由复合函数的单调性,得y=1-是R上的增函数,
又4x>0,故4x+1>1,即0<<2,故-1<1-<1,
所以y=1-的值域为(-1,1),
易知y=sin x为奇函数,所以曲线y=与曲线y=sin x在区间[-2 024π,2 024π]上的交点情况可以分为[-2 024π,0],[0,2 024π]两部分进行分析,
又曲线y=sin x的周期为2π,故当x∈[0,2 024π]时,一个周期内有两个交点,则一共有2 024个交点;
当x∈[-2 024π,0]时,一个周期内有两个交点,则一共有2 024个交点,
而在两部分内都包含交点(0,0),所以曲线y=与y=sin x在区间[-2 024π,2 024π]上一共有4 047个交点.
10.答案
解析 易知函数y=sin的最小正周期T=,所以区间的长度是函数y=sin.所以当区间关于y=sin的图象的对称轴对称时,g1(t)-g2(t)取得最小值.易知,所以当x=t+时,函数y=sin取得最值±1.不妨设g1(t)=1,则sin=1,所以sin=1,即2t++2kπ,k∈Z,解得t=kπ-,k∈Z,所以g2(t)=sin=sin2kπ+=,k∈Z,所以g1(t)-g2(t)的最小值为.
11.解析 (1)由题图可得A=1,最小正周期T=2×=2,则ω==π.
易知当x=时, f(x)取得最大值,
则+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),
又因为|φ|<,所以φ=-.
(2)由(1)可知f(x)=sin,
令+2kπ≤πx-+2kπ,k∈Z,
解得+2k≤x≤+2k,k∈Z.
故f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
取k=0,可得f(x)在[1,2]上的单调递减区间为.
(3)令f(x)=sin=0,得πx-=kπ,k∈Z,解得x=k+,k∈Z,所以f(x)在上有两个零点.
因为f(x)的最小正周期为2,所以若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2 020个零点,则1 009×2+1≤b-a<1 010×2+1,故b-a的取值范围为[2 019,2 021).
12.解析 (1)由题可得AB= m,AC= m,α∈,
当α=30°时,AB=2h2 m,AC=h1 m,
所以S△ABC=AB·AC=h1h2.
又因为h1+h2=30,h1,h2≥0,
所以S△ABC=h1h2≤,当且仅当h1=h2=15时取等号.
所以荷花种植面积的最大值为150 m2.
(2)因为h1+h2=30,h2=4h1,所以h1=6,h2=24,
故AB= m,AC= m,α∈,
从而S△ABC=AB·AC==150,
所以sin αcos α=①.
又因为sin2α+cos2α=1,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=.
又因为α∈,所以sin α+cos α=②,
联立①②,解得故sin α的值为.
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