2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--第七章 三角函数 复习提升

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2025人教B版高中数学必修第三册
本章复习提升
易混易错练　　　　　 　　　　 　　　　
易错点1　忽略轴线角致错
1.(2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中月考)设角α的始边为x轴正半轴,则“角α的终边位于第二、三象限”是“cos α<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　D.既不充分也不必要条件
2.已知角α的终边过点P(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点2　忽略隐含条件致错
3.(2024辽宁鞍山普通高中入学考试)在△ABC中,若sin A=,则=　　　　.
4.(2024浙江宁波期中)已知sin=a,0<α<,则sin=　　　　.
5.已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则a的值为　　　　.
易错点3　忽略对参数的讨论致错
6.(2023上海宝山期末)已知角α的终边上一点P(-4a,3a),a≠0,则3sin α+cos α=　　　　.
7.化简(n∈Z)的结果为　　　　　　　　.
8.(2022辽宁大连八中段考)已知函数y=2asin+b的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
易错点4　忽略三角函数的定义域、值域致错
9.(2024重庆一中期末)函数f(x)=ln(2sin2x-5sin x+2)的定义域是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
10.(2024河南南阳月考)函数f(x)=ln sin2x+的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
11. (2024湖北期中联考)若函数f(x)=cos2x+2sin x+,则θ的取值范围为　　　　.
易错点5　忽略自变量的系数致错
12.要得到函数y=cos的图象,只需把函数y=sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位　　　　　　　B.向左平移个单位
C.向右平移个单位　　　　　　　D.向右平移个单位
13.(2024山东东营期末)函数y=2sin(x∈[0,π])的单调递增区间为　　　　　　.
思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　
一、函数与方程思想在三角函数中的应用
1.(2023山东临沂第一中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π)=　　　　.
2.(2024海南海口期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则图中矩形(阴影部分)的面积为　　　　.
3.(2024山东潍坊高密一中月考)已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
二、数形结合思想在三角函数中的应用
4.(2022陕西延安黄陵中学期中)y=|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　B.[0,π]　　　　
C.　　　　　　D.
5.(2024江西宜春期末)下列关于函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的说法,正确的是　　　　.(填序号)
①f(x)是以2π为周期的函数;②当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;③f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ,k∈Z;④当2kπ+π6.(2022吉林长春期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)=-在区间[0,4]内的所有实数根之和.
三、转化与化归思想在三角函数中的应用
7.(2023江西赣抚吉十一校联盟体联考)已知直线x=是函数f(x)=4sin(ω>0)图象相邻的两条对称轴,将f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数g(x)的图象,若g(x)在(-m,m)上恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
8.(2022黑龙江牡丹江期末)函数f(x)=Asin(ωx+θ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对任意实数x∈,|f(x)-m|<2,求实数m的取值范围.
四、分类讨论思想在三角函数中的应用
9.(2024辽宁沈阳二中开学考试)已知集合M=,那么集合M的子集个数为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16
10.(2024北京房山期中)已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(　　)
　　A　　　　　　　　B　　　
　　C　　　　　　　　D　　　
11.已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3,则ω的取值范围是(　　)
A.∪[6,+∞)　　　　　　
B.
C.(-∞,-2]∪[6,+∞)　　　　　　
D.(-∞,-2]∪
12.(2024湖北武汉武昌期末)已知函数f(x)=sin(x+φ),0<φ<π,若函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,则φ的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
五、数学建模思想在三角函数中的应用
13.(2023吉林松原实验高级中学期末)某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)而出现周期性变化.一天内某时的浪高数据的平均值如下表所示:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)试在下面所给的坐标系中描出所给点;
(2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=Acos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型来拟合y与t的关系,并求出该拟合函数模型的解析式;
(3)若在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8米时才可进行训练,试安排恰当的训练时间.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　若角α的终边位于第二、三象限,则cos α<0,充分性成立;若cos α<0,则角α的终边在第二、三象限内,或在x轴的非正半轴上,必要性不成立.故“角α的终边位于第二、三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件.故选A.
易错警示　由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意角的终边在坐标轴上的情况,防止遗漏导致解题错误.
2.答案　(-2,3]
解析　∵cos α≤0,∴α的终边在第二或第三象限内,也可能在y轴上或在x轴的非正半轴上.
∵sin α>0,∴α的终边在第一或第二象限内,或在y轴非负半轴上.
∴点P在第二象限内或在y轴非负半轴上.
∴∴-2∴实数a的取值范围是(-2,3].
3.答案　6或-
解析　由题知A是三角形的一个内角,
因为sin A=>0,所以A为锐角或钝角.
当A为锐角时,cos A=,所以原式==6;
当A为钝角时,cos A=-,所以原式=.
综上可知,的值为6或-.
易错警示　根据某一三角函数值求另一三角函数值时,不要忽略角的范围,本题中A为△ABC的一个内角,忽视三角形内角的范围会导致漏解的情况.
4.答案　-
解析　∵0<α<,
∴sin.
5.答案　
解析　∵sin2θ+cos2θ=1,∴=1,
解得a=1或a=.
当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去;
当a=时,sin θ>0,cos θ<0,θ是第二象限角,符合题意.
∴a=.
易错警示　隐含条件为sin θ>0,cos θ<0,利用平方关系解出a的值后要注意检验.
6.答案　±1
解析　当a>0时,sin α=,cos α=,所以3sin α+cos α=1;
当a<0时,sin α=,cos α=,所以3sin α+cos α=-1.
综上,3sin α+cos α=±1.
7.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)
解析　①当n=2k(k∈Z)时,
原式==-sin α.
②当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=
==sin α.
综上,化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).
8.解析　∵0≤x≤≤2x-.
∴-≤sin≤1.
若a>0,则
若a<0,则
易错警示　形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0)的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行讨论.
9.C　f(x)=ln(2sin2x-5sin x+2)的定义域满足2sin2x-5sin x+2>0,即(sin x-2)(2sin x-1)>0,因为sin x∈[-1,1],所以sin x-2<0,故2sin x-1<0,即sin x<,解得2kπ-(k∈Z),
故函数f(x)的定义域为(k∈Z).故选C.
10.B　由题意可得sin>0,则2kπ<2x+<2kπ+π(k∈Z),解得kπ-(k∈Z),
即f(x)的定义域为(k∈Z).
要求f(x)的单调递增区间,
则需求y=sin的单调递增区间,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
结合f(x)的定义域可得,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).故选B.
11.答案　
解析　f(x)=cos2x+2sin x+=1-sin2x+2sin x+,x∈,
令t=sin x,x∈,则原函数可转化为y=-t2+2t++1,结合函数t=sin x和y=-t2+2t++1的图象(图略)知t∈.
当x=-时,t=sin x=-,此时y=;
令y=2+,则-t2+2t+,解得t=1(二重根).
结合t=sin x的图象可知,≤θ≤,
故θ的取值范围为.
易错警示　解与三角函数有关的值域问题时,要注意正、余弦函数的定义域和有界性.
12.B　y=cos=sin2x+=sin,故只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位即可.故选B.
易错警示　三角函数图象变换中的左右平移是针对x而言的,如果x前面的系数不是1,那么应先提取系数,再进行平移.
13.答案　
解析　y=2sin.
令2kπ+≤2x-+2kπ,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为,k∈Z,
所以函数在[0,π]上的单调递增区间为.
易错警示　求三角函数的单调区间时,要注意x的系数的符号.当x的系数为负数时,一般先将系数转化为正数再求单调区间.
思想方法练
1.答案　
解析　由题图得,最小正周期T=2×=4π,又因为ω>0,所以由T==4π,解得ω=.
由题图可知,函数f(x)的图象过点,
所以sin=0,
找出关键点,列出参数φ满足的方程并求解.
所以+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z,
又因为|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=Asin.
又函数图象过点,
所以Asin,
解得A=3,所以f(x)=3sin,
故f(π)=3sin.
2.答案　
解析　由题中图象可得最小正周期T=2×=2,故ω==π,故f(x)=sin(πx+φ),由题图可知f(x)图象的一条对称轴方程为x=,且f(x)在x=处取得最小值,故+2kπ,k∈Z,
找出关键点,列出参数φ满足的方程并求解.
所以φ=+2kπ,k∈Z,
故f(x)=sin,故f(0)=,令f(x)=,则sin,故πx++2kπ,k∈Z或πx++2kπ,k∈Z,故x=2k,k∈Z或x=2k-,k∈Z,故题图中矩形的右侧一边在直线x=上,故图中矩形的面积为.
3.解析　(1)由题意知α=120°= rad,所以弧长l=α·R=(cm).
(2)由题意得(舍), rad.
根据题意列出与α和R有关的方程组,体现了方程思想.
(3)由题意知l+2R=20(cm),
所以扇形的面积S=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
构造面积S关于半径R的函数,利用二次函数的相关知识解决问题.
所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,此时l=10 cm,α=2 rad.
思想方法　在本章中,研究三角函数有关问题时,根据条件列出等式或者函数式,通过方程或函数的知识求解,是一种常见的方法.
4.D　作出函数图象,通过图象找到函数的单调递增区间.
作出y=|cos x|的部分图象,如图所示,结合图象及选项可得,y=|cos x|的一个单调递增区间是.故选D.
5.答案　①②④
解析　f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+cos x+|sin x-cos x|=f(x),故①正确.
f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|
=
=
作出y=f(x)的图象,如图,
由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质.
由图可知,当x=2kπ+,k∈Z时, f(x)min=-,故②正确.
由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③不正确.
由图象可得,当2kπ+π又f(π)=f=0,所以-≤f(x)<0,故④正确.
思想方法　在解决三角函数问题时要注意数形结合,把三角函数式的精确刻画与三角函数图象的直观描述结合起来,能够避免复杂的计算和推理,实现快速准确解题的目的.
6.解析　(1)由题图可知A=2,最小正周期T=2×=2,所以ω==π,所以f(x)=2sin(πx+φ).
又点在f(x)的图象上,
所以2sin=2,
所以+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=.
故f(x)=2sin.
(2)将方程的根的问题转化为对应函数的图象的交点问题,结合图象解决问题.
如图,易得f(x)在[0,4]上的图象与直线y=-有4个交点,则方程f(x)=-在[0,4]上有4个实数根.
设这4个实数根分别为x1,x2,x3,x4(x1由图可得,x1+x2=,所以x1+x2+x3+x4=.
思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常通过数形结合实现图象与性质的结合,如解决函数的零点、方程的根的问题,一方面,利用图象确定函数零点或方程根的范围、个数,另一方面,利用图象的对称性寻求函数零点、方程根间的关系,进而解决相关问题.
7.A　由题意得,即,解得ω=2,所以f(x)=4sin,所以g(x)=4sin.
当x∈(-m,m)时,2x-,
令t=2x-,则y=4sin t,t∈.
将g(x)在(-m,m)上的零点问题转化为y=4sin t在对应区间上的零点问题.
所以问题转化为y=4sin t在t∈上有三个不同的零点.
易知m>0,则-2m-,
所以
解得8.解析　(1)由题图知,A=,
∴T=π,∴ω=2.
又点在f(x)的图象上,∴2×+2kπ(k∈Z),解得θ=+2kπ(k∈Z),∵|θ|<.
(2)∵x∈,
∴sin,∴f(x)∈.
由|f(x)-m|<2,得m-2将f(x)的范围问题,转化为与f(x)的最值有关的问题.
∴.
∴实数m的取值范围为.
思想方法　转化与化归思想在三角函数中常见的运用:将任意角的三角函数化为锐角的三角函数进行求值;将y=Asin(ωx+φ)的图象化为y=Asin t的图象来研究;进行恒等变形或者条件的等价转化等.
9.B　易得sin x≠0,cos x≠0,tan x≠0,所以x为象限角.
角所在的象限不同,去绝对值后的结果可能也会不同.角所在的象限不确定,因此要分情况讨论.
若x为第一象限角,则sin x>0,cos x>0,tan x>0,所以s=1+1+1=3;
若x为第二象限角,则sin x>0,cos x<0,tan x<0,所以s=1-1-1=-1;
若x为第三象限角,则sin x<0,cos x<0,tan x>0,所以s=-1-1+1=-1;
若x为第四象限角,则sin x<0,cos x>0,tan x<0,所以s=-1+1-1=-1.
所以M={-1,3},所以集合M的子集个数为22=4.故选B.
10.D　对a的取值进行分类讨论.
当a=0时,f(x)=1,故C符合题意;当0<|a|<1时,y=asin ax∈[-|a|,|a|],所以f(x)∈[1-|a|,1+|a|],其中1-|a|>0,1+|a|<2,函数的最小正周期T=>2π,故A符合题意;当|a|>1时,y=asin ax∈[-|a|,|a|],所以f(x)∈[1-|a|,1+|a|],其中1-|a|<0,1+|a|>2,函数的最小正周期T=<2π,故B符合题意;当|a|=1时,f(x)=1+sin x∈[0,2],最小正周期T=2π,均不符合.故选D.
11.D　显然ω≠0.
分ω>0和ω<0两种情况进行讨论.
当ω>0时,ωx∈,所以-≤-,解得ω≥;
当ω<0时,ωx∈,所以≤-,解得ω≤-2.
所以ω的取值范围是(-∞,-2]∪.
故选D.
12.D　当0≤x<时,φ≤x+φ<+φ,又因为0<φ<π,所以.因为函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,所以当+φ≥π,即φ≥时,还需满足+φ≤,此时≤φ≤;当+φ<π,即φ<时,还需满足,此时.
+φ与π的大小关系会影响函数f(x)在对应区间
上的取值,故应分类讨论.
综上,φ的取值范围是.故选D.
思想方法　当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.在三角函数的问题中,受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论.
13.解析　(1)描点如下.
(2)结合(1)中的图形,选择模型,从而求解相应的函数解析式.
由(1)中所描点可知,应选择y=Asin(ωt+φ)+b.
不妨令A>0,ω>0,|φ|<π.
由已知得,最大值为1.4,最小值为0.6,周期T=12,
则A=,
所以y=+1,将(3,1.4)代入,可得+1=0.4cos φ+1=1.4,所以cos φ=1,则φ=2kπ,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=0.
所以该模型的解析式为y=sin t+1(0≤t≤24).
(3)令y=sin t+1≥0.8,则sin t≥-,
所以-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z,
所以-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z.
当k=0时,-1≤t≤7,又0≤t≤24,所以0≤t≤7;
当k=1时,11≤t≤19,又0≤t≤24,所以11≤t≤19;
当k=2时,23≤t≤31,又0≤t≤24,所以23≤t≤24.
综上所述,0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.
所以应在一天内的11时到19时之间进行训练.
思想方法　在实际问题中常常涉及与三角函数模型有关的问题,求解时要先根据题中条件合理选择或构建相应的模型,再利用条件解决问题.
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