2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--全书综合测评

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2025人教B版高中数学必修第三册
全书综合测评
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知a=(1,2),b=(4,3),则(a-b)·b=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-30　　　　B.-15　　　　C.-10　　　　D.5
2.将顶点为原点,始边为x轴正半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转,那么sin α=(　　)
A.　　　　
C.
3.若α为第二象限角,且cos α=-,则tan 2α=(　　)
A.-
C.
4.如图,以正方形的各边为底向外作四个腰长为1的等腰三角形,则阴影部分面积的最大值是(　　)
A.2+2+2　　　　D.2
5.已知平面四边形ABCD是边长为4的菱形,且∠A=120°,点N是边DC上的点,且,点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点,则的最大值为(　　)
A.13　　　　B.7　　　　C.14　　　　D.12+2
6.函数f(x)=log2|x|+cos x的大致图象是(　　)
7.已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cos(2α+2β)=(　　)
A.
8.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,M是BC的中点,连接AM,作BN⊥AM,交AM的延长线于点N,则向量上的投影的数量为(　　)
A.-
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知向量a=(1,-1),b=(-2,m),c=(4,-2),则下列说法正确的是(　　)
A.a与c夹角的余弦值为
B.a在c上的投影向量为c
C.若a与b的夹角为钝角,则m>-2
D.若a与b的夹角为锐角,则m<-2
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,φ∈是f(x)图象的一组相邻的对称轴和对称中心,则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
D.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是
11.设函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)在[0,π]上有且仅有5个最值点,则(　　)
A.f(x)在(0,π)上有且仅有3个最大值点
B.f(x)在(0,π)上有且仅有4个零点
C.ω的取值范围是
D.f(x)在上单调递增
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若扇形的弧长是3π cm,面积是6πcm2,则该扇形圆心角的弧度数θ=　　　　.
13.若=　　　　.
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在△ABC所在平面内,满足取得最小值时,λ的值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知f(θ)=.
(1)若f(θ)=,求cos 2θ的值;
(2)若f ,求sin θ的值.
16.(15分)已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,|a|=6,|b|=2.
(1)若θ为钝角,试问a+b与a-5b能否垂直 若能,求出cos θ的值;若不能,请说明理由;
(2)若θ=,当k>0时,求|a-4kb|的最小值并求此时a与a-4kb的夹角.
17.(15分)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=10 km,现要在该矩形的区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L km.
(1)设∠OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域;
(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤6,|φ|≤π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知α∈,求f(2α)的值;
(3)若关于x的方程f(x)=a在上有两个不同的实根x1,x2,且x119.(17分)若存在a,b∈R,使得函数f(x)和g(x)满足g(x)=f(x+a)+b,则称函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.
(1)若f(x)=sin x-cos x,g(x)=sin x+cos x+1,是否存在a∈(0,π),b∈R,使得函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数 若存在,求出a,b的值并证明;若不存在,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,函数h(x)=恒成立,求实数m的取值范围.
答案与解析
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1.B　因为a=(1,2),b=(4,3),所以a-b=(-3,-1),所以(a-b)·b=-3×4+(-1)×3=-15.故选B.
2.D　由点P在单位圆上,得x2+.
因为α是锐角,所以α∈,
所以sin α=sin.故选D.
3.A　因为α为第二象限角且cos α=-.故选A.
4.A　设等腰三角形的底角为θ.
5.C　由数量积的几何意义可知,当M与C点重合时,同向,且模最长,此时最大.
因为,
所以·(=14,所以的最大值为14.故选C.
6.C　因为f(-x)=log2|-x|+cos(-x)=log2|x|+cos x=f(x),且f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D.当x趋近于0时,y=log2|x|趋近于负无穷,y=cos x趋近于1,所以f(x)趋近于负无穷,排除A.故选C.
7.B　由4sin2α+2sin2β=1,得4×=1,即2cos 2α+cos 2β=2①.由题知2sin 2α-sin 2β=0②,
①,②左右两边分别平方并相加,得4cos22α+4cos 2αcos 2β+cos22β+4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=4,
所以4cos 2αcos 2β-4sin 2αsin 2β=-1,即4cos(2α+2β)=-1,所以cos(2α+2β)=-.故选B.
8.D　以A为原点,AC所在直线为x轴,AC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图.
作CD⊥AN交AN于点D,因为M是BC的中点,N在直线AM上,且BN⊥AM,所以BN∥DC.由三角形全等可知DC=NB,所以 =.
因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,所以B,C(2,0),
所以点M的坐标为.
因为sin2α+cos2α=1,所以sin α=,
所以|,
所以向量上的投影的数量为|.故选D.
9.ABD　cos=,故A正确.
a在c上的投影向量为c,故B正确.
若a与b的夹角为钝角,则解得m>-2且m≠2,故C错误.
若a与b的夹角为锐角,则解得m<-2,故D正确.故选ABD.
10.ABD　由题意可知,f(x)的最小正周期T=4×=π,故A正确;
由T=,故D正确.故选ABD.
11.ACD　∵x∈[0,π],ω>0,∴.
令t=ωx+.
作y=sin t,t∈R的部分图象如图所示.
由题意及图可知,f(x)在(0,π)上有且仅有3个最大值点,故A正确;当时,f(x)在(0,π)上有且仅有5个零点,故B错误;
∵f(x)在[0,π]上有且仅有5个最值点,∴,故C正确;
∵x∈,
由C选项可知,上单调递增,故D正确.
故选ACD.
12.答案　
解析　设扇形的半径为r cm,则扇形的面积S=.
13.答案　
解析　,
所以sin.
14.答案　5;-1
解析　以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
设A(a,0)(a>0),B(0,b)(b>0),P(x,y),
则=(-x,-y).
由
当λ=1时,P,则,
所以|,
所以=5.
=2+取得最小值时,λ=-1.
15.解析　(1)f(θ)==cos θ.(3分)
因为f(θ)=cos θ=.(6分)
(2)由题意可得f.(8分)
因为.(10分)
所以sin θ=sin. (13分)
16.解析　(1)由题意得a·b=6×2cos θ=12cos θ,所以(a+b)·(a-5b)=|a|2-4a·b-5|b|2=36-48cos θ-20=16-48cos θ.(4分)
因为θ为钝角,所以cos θ<0,所以(a+b)·(a-5b)=16-48cos θ>0,
所以a+b与a-5b不可能垂直.(6分)
(2)当θ==6,所以|a-4kb|2=|a|2-8ka·b+16k2|b|2=36-48k+64k2=64+27,(8分)
所以当k=时,|a-4kb,
此时a-4kb=a-b.(10分)
因为a·a·b=36-9=27,
所以cos又17.解析　(1)过点O作OT⊥MN,交MN于点T(图略),则T为MN的中点,T,O,S三点共线,
∴MT= km,(3分)
∴OM=ON=tan x,(5分)
∴L=OM+ON+OS=.(7分)
(2)由(1)知,L=.
令t=,则tcos x+sin x=2,(9分)
∴sin(x+φ)=2(tan φ=t),
由sin(x+φ)=(舍去).(13分)
易知当t取最小值时,L最小,∴当t=-5)km时,可使得宣讲站到三个乡镇的距离之和最小.(15分)
18.解析　(1)由题图可知,A=1,因为f(0)=sin φ=-,(2分)
又f+2kπ,k∈Z,
所以ω=2+6k,k∈Z,由0<ω≤6得ω=2,(4分)
所以f(x)=sin.(5分)
(2)因为f(α)=sin,
又α∈,(7分)
所以f(2α)=sin.(10分)
(3)令t=2x-.(11分)
易知函数y=sin t在上单调递增,
且sin,
因为方程f(x)=a在上有两个不同的实根x1,x2,
所以y=sin t,t∈的图象与直线y=a有两个交点,两个交点的横坐标记分别为t1,t2,且t1在同一平面直角坐标系内作出y=sin t,t∈的图象及直线y=a,如图.
由图知-1又,所以2x1+x2=x1+x1+x2=x1+.(17分)
19.解析　(1)存在,当a=,b=1时,函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.(2分)
证明如下:当a=,b=1时,函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.(5分)
(2)h(x)=-m.(8分)
不等式h(x)≥2m-上恒成立.
令sin x=t,则t∈上恒成立.(10分)
令F(t)=t2-2mt-3m,t∈上单调递增,
所以F(t)min=F;(12分)
当m≥1时,F(t)在上单调递减,
所以F(t)min=F(1)=1-5m≥0,解得m≤(舍去);(14分)
当m∈上单调递减,在[m,1]上单调递增,
所以F(t)min=F(m)=-m2-3m≥0,解得-3≤m≤0(舍去).(16分)
综上,实数m的取值范围为.(17分)
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