2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练1 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的运用

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2025人教B版高中数学必修第三册
专题强化练1 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的
运用　　　　　 　　　　 　　　　
1.(2023浙江杭州第十一中学期中)已知<α<π,则化简的结果是(　　)
A.sin α-cos α　　　　　　B.sin α+cos α
C.sin α　　　　　　D.-cos α
2.(2024福建泉州期末)已知1-sin α=cos α,α∈,则tan α=(　　)
A.
3.已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°=(　　)
A.
C.-
4.(2024吉林长春外国语学校期末)若θ为第四象限角,且sin(θ+π)=,则的值是(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.
5.(2024四川巴中通江实验中学期中)已知α为第二象限角,且tan=-2,则cos·cos=(　　)
A.-
6.(2024河南新乡月考)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α=(　　)
A.
7.(2022山东滨州期末)若tan(π+α)=2,则sin2-4sin(π-α)cos(-α)=(　　)
A.-
8.(多选题)(2023辽宁沈阳月考)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴正半轴重合,终边过点P,角β的终边与角α的终边关于y轴对称,将OP绕原点逆时针旋转后与角θ的终边重合,则(　　)
A.sin α=　　　　　　B.α=π-β
C.cos α+cos β=0　　　　　　D.sin α+cos θ=0
9.(2023辽宁大连滨城高中联盟期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示,记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,若=25,则的值为(　　)
A.　　　　C.
10.(2024上海月考)若α为第一象限角,则locos α=　　　　.
11.(2024四川成都简阳实验学校月考)计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　.
12.在△ABC中,若sin(2π-A)=-cos A=-cos(π-B),则C=　　　　.
13.求证:(1)=;
(2)=.
14.已知f(α)=.
(1)若tan α=2,求的值;
(2)若f ,求cos的值.
15.(2024江西景德镇乐平第三中学期中)在①4sin(2 023π+α)=3cos(2 024π+α);②sin α+cos α=;③α,β的终边关于x轴对称,并且4sin β=3cos β这三个条件中任选一个,补充在横线上,并回答问题.
已知第四象限角α满足　　　　,求下列各式的值.
(1);
(2)sin2α+3sin αcos α+1.
16.(2024江苏盐城第一中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的顶角与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,且OA⊥OB.
(1)求的值;
(2)若cos α+cos β=,求tan β的值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的
运用
1.A　因为<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,所以=
|sin α-cos α|=sin α-cos α.故选A.
2.B　由1-sin α=cos α,得(cos α+sin α)2=1=cos2α+sin2α,整理得cos2α+2cos αsin α=0,
因为α∈,所以cos α≠0,所以2tan α+1=0,解得tan α=-.故选B.
3.B　sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)=-cos 31°(-tan 31°)=sin 31°=.
4.A　因为sin(θ+π)=-sin θ=,所以sin θ=-,
所以
==-,
因为θ为第四象限角,所以结合sin2θ+cos2θ=1可知cos θ=,所以原式==4,故选A.
5.B　因为<α<π,所以,
又因为tan=-2<0,所以,由
所以cos=cos·cos
.故选B.
6.C　由题意及诱导公式,得解得tan α=3.
根据α为锐角且得sin α=.
7.B　因为tan(π+α)=tan α=2,
所以sin2-4sin(π-α)cos(-α)=cos2α-4sin αcos α=.故选B.
8.ACD　由题意得sin α=,故A正确;
因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称,所以α+β=π+2kπ,k∈Z,故α=π+2kπ-β,k∈Z,故B错误;
cos α=cos(π+2kπ-β)=-cos β,k∈Z,故cos α+cos β=0,故C正确;
由题可知θ=α+,故cos θ=cos=-sin α,故sin α+cos θ=0,故D正确.故选ACD.
9.C　设大正方形的边长为a,则直角三角形的直角边长分别为asin α,acos α,S1=a2,∴S2=S1-4×asin α·acos α=a2-2a2sin αcos α,
∴=25,即=25.
由题意得0<α<=25,解得tan α=或tan α=(舍去),
∴.故选C.
10.答案　-
解析　因为α为第一象限角,所以cos α>0,
所以1+tan2α=1+=(cos α)-2,
则locos α=.
11.答案　
解析　易知sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,
∴原式=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos23°+cos22°+cos21°=44+.
12.答案　
解析　由题意得,-sin A=-sin B①,cos A=cos B②.
①、②左右两边分别平方并相加,得sin2A+3cos2A=2,即1+2cos2A=2,即cos2A=,
∴cos A=±,
∴A=或A=.
当A=时,由②得cos B,即cos B=,
∴B=,
∴C=.
当A=时,由②得cos B,即cos B=-(舍去).
综上,C=.
13.证明　(1)右边=
=
=
==左边,
所以原等式成立.
(2)左边=
=
=
==右边,
所以原等式得证.
14.解析　f(α)=
==-cos α.
(1).
(2)∵f ,
∴cos.
∵-,
∴,
∴cos
=cos.
∴cos.
15.解析　选①.
由4sin(2 023π+α)=3cos(2 024π+α),得-4sin α=3cos α,则tan α=-.
选②.
因为α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,
又sin α+cos α=,所以+cos2α=1,
所以cos α=,sin α=-,则tan α=-.
选③.
因为α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0.
因为α,β的终边关于x轴对称,
所以α+β=2kπ,k∈Z,
则sin α=-sin β,cos α=cos β.
又因为4sin β=3cos β,
所以-4sin α=3cos α,即tan α=-.
(1).
(2)sin2α+3sin αcos α+1=.
16.解析　由题意知α∈,β∈,且β=α+.
(1)=-1.
(2)由cos α+cos β=可得cos+cos β=,
即sin β+cos β=,所以(sin β+cos β)2=,
即1+2sin βcos β=,所以sin βcos β=-,
即,即,
解得tan β=-或tan β=-.
因为β为钝角,且sin β+cos β>0,
所以cos β<0,sin β>-cos β,
所以<-1,即tan β<-1,故tan β=-.
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