2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练4　数量积及其性质

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2025人教B版高中数学必修第三册
专题强化练4　数量积及其性质　　　　　 　　　　 　　　　
1.若同一平面上三个单位向量a,b,c两两间的夹角都是,则a-b与a+c的夹角是(　　)
A.
2.(2024山东泰安一模)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　D.π
3.(2024北京清华大学附中期中)在△ABC中,,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.三边均不相等的三角形
C.等边三角形
D.等腰(非等边)三角形
4.(2022广东广州仲元中学期中)已知向量a,b满足|a|=2,|a-b|=7,b在a上的投影的数量为-,则|b|=(　　)
A.6　　　　B.9　　　　C.3
5.(2023广东广州二中期中)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=5,点O为其外接圆的圆心,=12,则a=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
6.(2024天津耀华中学学情调研)已知等边三角形ABC的边长为4,D为边AB的中点,E是边AC上的动点(含端点),则的取值范围为(　　)
A.[-1,6]　　　　　　B.[-1,12]
C.[0,6]　　　　　　D.
7.(2022山东枣庄三中期中)已知向量a与向量b不共线,b=(1,1),对任意t∈R,恒有|a-tb|≥|a-2b|,则(　　)
A.a⊥b　　　　　　B.a⊥(a-2b)
C.b⊥(a-2b)　　　　　　D.(a+2b)⊥(a-2b)
8.(2022上海松江二中月考)如图所示,△ABC是边长为2的正三角形,以BC的中点O为圆心,BC为直径作半圆弧,点P在圆弧上运动,则的取值范围为(　　)
A.[2,3]
C.[2,4]　　　　　　D.[2,5]
9.(多选题)(2024福建龙岩月考)如图,在△ABC中,BC=12,D,E是BC的三等分点,则下列正确的是(　　)
A.
B.若AB⊥AC,则=32
C.若=9,则=40
D.若=4,则=88
10.如图,△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q,若||=5,则()·()=　　　　.
11.(2022浙江湖州中学期末)已知平面向量a,b,c满足|a|=2,|b-a|=1,c∥b,a·c=6,则|c|的最大值为　　　　.
12.(2024山东烟台莱阳一中月考)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC交BD于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD.
(1)求的值;
(2)若N为线段AC上任意一点,求的最小值.
13.(2023安徽卓越县中联盟期中)如图,在四边形OABC中,(0≤x≤1),)·.
(1)证明:OA⊥OC;
(2)设,求λμ的最大值,并求出λμ取得最大值时x的值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　数量积及其性质
1.D　由题意知,|a-b|=,|a+c|=1,(a-b)·(a+c)=a2+a·c-a·b-b·c=1+1×1×cos.
设a-b与a+c的夹角为θ,则cos θ=,又0≤θ≤π,所以a-b与a+c的夹角为.故选D.
2.C　因为(a+b)⊥(3a-2b),所以(a+b)·(3a-2b)=0,整理得a·b=2|b|2-3|a|2,又|a|=|b|,故a·b=2|b|2-3|b|2,所以cos=,又0≤≤π,所以a与b的夹角为.故选C.
3.D　因为=0,所以=0,所以·()=0,所以()·()=0,所以,即BC=BA,
因为=1×1×(-cos B)=,
所以cos B=-,所以B=,
所以△ABC为等腰(非等边)三角形.故选D.
4.A　由|a|=2,|a-b|=7得a2-2a·b+b2=4-2a·b+b2=49,所以-2a·b+b2=45.因为b在a上的投影的数量为-,所以,所以a·b=-.所以9+b2=45,所以|b|=6.故选A.
5.C　连接OA,OC,则OA=OB=OC.取AC的中点D,连接OD,BD,则OD⊥AC.
)·)·(=12,即c2=12,又c=5,所以a=7.故选C.
6.D　取线段AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC,以点O为原点,OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(2,0),D(1,).由题可设点E(x,0),-2≤x≤2,则),所以,因为函数f(x)=上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f,又因为f(-2)=12,f(2)=0,所以f(x)在[-2,2]上的最大值为12,因此.故选D.
7.C　设a=(x,y),则a-tb=(x-t,y-t),a-2b=(x-2,y-2).
∵对任意t∈R,恒有|a-tb|≥|a-2b|,
即(x-t)2+(y-t)2≥(x-2)2+(y-2)2,
∴ t∈R,t2-(x+y)t+2(x+y)-4≥0恒成立,
∴Δ=[-(x+y)]2-4×[2(x+y)-4]≤0,解得x+y=4.
∵向量a与向量b不共线,∴x≠2.
a·b=(x,y)·(1,1)=x+y=4≠0,A错误.
a·(a-2b)=(x,y)·(x-2,y-2)=x2+y2-2(x+y)=x2+(4-x)2-8=2x2-8x+8=2(x-2)2≠0,B错误.
b·(a-2b)=(1,1)·(x-2,y-2)=x+y-4=0,C正确.
(a-2b)·(a+2b)=(x-2,y-2)·(x+2,y+2)=x2+y2-8=x2+(4-x)2-8=2(x-2)2≠0,D错误.故选C.
8.D　过点C作CE⊥AB于点E,易知点P在点C处时,最小,此时|·|=2.
过点O作OM∥AB交圆弧于点M,连接AM,此时的点M即为使最大的点P.过O作OG⊥AB于点G,PF垂直于AB的延长线于点F,则|·||·(|=5.
所以的取值范围为[2,5].故选D.
9.ABD　对于A,,故A正确;
对于B,因为AB⊥AC,所以=0,AB2+AC2=BC2,又,所以×122=32,故B正确;
对于C,,
故+5,
又,故=144,
所以+144=162,故+5=41,故C错误;
对于D,结合C中分析知=4,而=144,即)-72,所以=4,得=88,故D正确.
故选ABD.
10.答案　-16
解析　由题图知,)·()·,
又∵PQ为线段BC的垂直平分线,
∴()·()·(=9-25=-16.
11.答案　2
解析　因为c∥b,所以设b=λc(λ∈R).
因为|b-a|=1,所以|λc-a|=1,所以(λc-a)2=λ2·c2-2λc·a+a2=λ2c2-12λ+4=1,所以c2=-3+12,所以当λ=时,c2取得最大值12,此时|c|的最大值为2.
12.解析　解法一:(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC,所以)·)·(.
(2)设(0≤λ≤1),则·(,解得λ=,即.
·(|×cos 45°=|×cos 45°=|.
令||=t,则0≤t≤2,所以当|时, 有最小值-.
解法二:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.
(1)易得A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),
∴=(-4,2),
由相似三角形易得O.
设M(λ,0),0≤λ≤4,则,
∴=0,解得λ=,
∴.
(2)设N(a,a),0≤a≤2,则=(a,a)·,
∴当a=时, 有最小值-.
13.解析　(1)证明:∵)·=0,
即·(·()=0,
∴=0,即()·=0,
即=0,∴OA⊥OC.
(2)由题意得.
又,
∴
∴λμ=μ.
∵0≤x≤1,∴≤μ≤,
∴当μ=时,λμ取得最大值,此时x=0.
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