2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 501.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 10:48:03 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第三册
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
基础过关练
题组一 弧度制及角度与弧度的互化
1.(2023江西南昌铁路第一中学月考)已知角α=8,则角α的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024河南新乡第一中学月考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π
3.已知α=15°,β=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为 .
题组二 用弧度制表示终边相同的角
4.(2022山东济宁质检)与的终边相同的角的表达式中,正确的是( )
A.2kπ+45°,k∈Z B.k·360°+,k∈Z
C.2kπ+,k∈Z D.kπ+,k∈Z
5.用弧度制表示终边落在阴影部分内的角θ的集合为 .
6.(2024江西宜春丰城开学考试)已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在[-4π,π]上找出与α终边相同的角.
题组三 扇形的弧长公式及面积公式
7.(2023湖南株洲二中开学考试)若某扇形的圆心角为,面积为24π,则扇形的弧长为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
8.(2023辽宁省实验中学月考)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,则该扇形圆心角的弧度数为( )
A.1或4 B.或8 C.1 D.
9.(2024湖南岳阳湘阴二中竞赛)在面积为定值S的扇形中,扇形的周长最小时,半径是 .
10.(2024江苏连云港高级中学月考)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.图1是一个扇环形砖雕,其形状可视为将扇形OCD截去同心扇形OBA后所得的图形,如图2,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为 m2.
能力提升练
题组一 弧度制及终边相同的角
1.(2024山东青岛期末)已知k∈Z,下列各组角中,终边相同的是( )
A.2kπ与kπ B.2kπ+π与4kπ±π
C.kπ+与2kπ±与kπ±
2.(多选题)(2023江苏无锡期末)钟表在我们的生活中随处可见,高一某班的同学们在学习了“任意角与弧度制”后,对钟表的运行产生了浓厚的兴趣,并展开了激烈的讨论.下列说法正确的是( )
A.小赵同学说:“经过5 h,时针转了-”
B.小钱同学说:“经过40 min,分针转了-”
C.小孙同学说:“当钟表显示的时刻为12:35时,时针与分针所夹的钝角为”
D.小李同学说:“钟表的时针与分针在一天内会重合22次”
3.(2022山东滕州第二中学期中)图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为 .
题组二 扇形的弧长公式和面积公式及其应用
4.(2022山东济南期末)军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米,两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=( )
注:(i)当扇形的圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等;(ii)取π等于3进行计算.
A.30密位 B.60密位
C.90密位 D.180密位
5.(2022四川眉山期末)古希腊雕刻家米隆的作品《掷铁饼者》刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间(如图).现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”,经测量“弓”长是米,“弓”所在圆的半径为1.25米,则掷铁饼者两手掌心之间的距离约为( )
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
A.2.945米 B.2.043米
C.1.768米 D.1.012米
6.(2022山东菏泽期末)中国折扇有着深厚的文化底蕴.如图所示,在半径为20 cm的半圆O中作两个扇形OAB和OCD,用扇环ABDC(图中阴影部分)制作折扇的扇面.记扇环ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当时,扇形的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径为( )
A.10()cm
C.5()cm
7.(2024山东青岛二中月考)中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.
C.π
8.(2023河北石家庄二中月考)已知扇形的圆心角α=60°,α所对的弧长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为 .
9.(2023陕西西安工业大学附属中学适应性考试)“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成,两岸连接点间距离为60米,外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为 米.
10.(2024江苏苏南八校期末联考)分别以等边三角形每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是 .
11.(2024山东青岛期末)如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.
答案与分层梯度式解析
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
基础过关练
1.B 因为<8<3π,所以α的终边位于第二象限.故选B.
2.B 分针按顺时针方向转,每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的角度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化为弧度数为-840×π,故选B.
3.答案 α<β<γ<θ=φ
解析 解法一(角度化为弧度):α=15°=15×,因为,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β=°=18°,γ=1≈57.30°,φ=°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
4.C
易错警示 角的表达式中单位必须一致,要么是弧度制,要么是角度制,不能混用.
5.答案 θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z
解析 330°角的终边与-30°角的终边相同,
又-30°=-,
∴终边落在阴影部分内的角θ的集合为θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z.
6.解析 (1)α=1 200°=1 200×+3×2π.因为<π,角α与的终边相同,
所以角α是第二象限角.
(2)由(1)可得与角α终边相同的角为2kπ+,k∈Z.
令-4π≤2kπ+≤π,k∈Z,得-≤k≤,k∈Z,
所以k=-2或k=-1或k=0.
故在[-4π,π]上与角α终边相同的角是-.
7.B 设扇形的半径为r,则扇形的面积为r2=24π,解得r=24(负值舍去),所以扇形的弧长为r=2π.故选B.
8.D 设扇形的圆心角为α,半径为R cm,弧长为l cm.
由已知可得
当时,α==8>2π,舍去;
当时,α=.
综上所述,α=.故选D.
9.答案
解析 设扇形的半径为r,圆心角为α,
则扇形的弧长为αr,
由题意得S=αr2,故α=,
所以扇形的周长l=2r+αr=(2+α)r=,
由基本不等式得l=2r+≥2,
当且仅当2r=,即r=时,等号成立,
故扇形的周长最小时,半径是.
10.答案
解析 ∠AOB=100°=,
因为OA=0.2 m,AD=0.3 m,所以OD=0.5 m,
所以S扇形OCD=×∠AOB×OD2=(m2),S扇形OAB=×∠AOB×OA2=(m2),则扇环形砖雕的面积S=S扇形OCD-S扇形OAB=(m2).
能力提升练
1.B A中,2kπ与kπ不是终边相同的角,因为2kπ的终边在x轴的非负半轴上,kπ的终边在x轴上;B中,2kπ+π与4kπ±π是终边相同的角;C中,kπ+与2kπ±不是终边相同的角,因为kπ+的终边落在直线y=x上,2kπ±的终边落在y=x(x≥0)和y=-x(x≥0)两条射线上;D中,与kπ±不是终边相同的角,因为的终边落在坐标轴上,kπ±的终边落在y轴上.
故选B.
2.ACD 经过5 h,时针转过的角度对应的弧度数为-5×,故A正确.
经过40 min,分针转过的角度对应的弧度数为-8×,故B错误.
当钟表显示的时刻为12:35时,时针与分针所夹的钝角为2π-,故C正确.
易知分针比时针多走一圈,便会重合一次,设分针走了t min,第n次和时针重合,则·t-·t=2πn,所以n=t(0≤t≤1 440),故nmax=×1 440=22,故D正确.
故选ACD.
3.答案
信息提取 ①每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);②15分钟时回到出发点A;③3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点).
数学建模 利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点)”列出不等式,解不等式得出结论.
解析 每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度.
由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z.
又小明3分钟时第一次到达劣弧之间,
所以π<3θ<,即π<,k∈Z,解得k=3,
所以θ=.
4.A 由题意得,1密位=弧度.因为圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等,所以α=弧度.因为=30,所以迫击炮转动的角度为30密位.故选A.
5.C “弓”长是米,“弓”所在圆的半径为1.25米,所以其所对的圆心角α=,所以两手掌心之间的距离为2×1.25×sin ≈1.768(米).故选C.
6.A 设∠AOB=θ,扇形OCD的半径为r1,半圆O的半径为r2.
∵,
即,
∴.∵r2=20 cm,∴r1=10(-1)cm.
7.A 如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,则点E,F分别为BC,AD的中点,且OB=OC.
因为BC∥AD,所以,即,解得OB=3,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,
所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形OAD-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=.
故选A.
8.答案
解析 扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为α所对的弧长l=6π,
所以R·=6π,解得R=18,
所以扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形内切圆的半径为r,如图所示:
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=,所以r=6,
所以扇形内切圆的面积为π·62=36π,
因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为.
9.答案 (40+30)π
解析 设月牙泉的两岸连接点分别为Q,T,外岸圆弧所在圆的圆心为O,内岸圆弧所在圆的圆心为P,月牙泉的示意图如图所示.连接QT,PQ,PT,PO.
易得PO⊥QT.由题意可知QT=60米,PQ=60米,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,所以∠QPT=.所以游客步行的路程为)π米.
10.答案 18π-18
解析 由弧长公式可得·AB=2π,解得AB=6,所以由弧和线段AB所围成的弓形的面积为,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9.
11.解析 由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△C'OB'的面积为,故B'C'左边空白图形的面积S1=,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为.
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2025人教B版高中数学必修第三册
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
基础过关练
题组一 弧度制及角度与弧度的互化
1.(2023江西南昌铁路第一中学月考)已知角α=8,则角α的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024河南新乡第一中学月考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π
3.已知α=15°,β=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为 .
题组二 用弧度制表示终边相同的角
4.(2022山东济宁质检)与的终边相同的角的表达式中,正确的是( )
A.2kπ+45°,k∈Z B.k·360°+,k∈Z
C.2kπ+,k∈Z D.kπ+,k∈Z
5.用弧度制表示终边落在阴影部分内的角θ的集合为 .
6.(2024江西宜春丰城开学考试)已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在[-4π,π]上找出与α终边相同的角.
题组三 扇形的弧长公式及面积公式
7.(2023湖南株洲二中开学考试)若某扇形的圆心角为,面积为24π,则扇形的弧长为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
8.(2023辽宁省实验中学月考)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,则该扇形圆心角的弧度数为( )
A.1或4 B.或8 C.1 D.
9.(2024湖南岳阳湘阴二中竞赛)在面积为定值S的扇形中,扇形的周长最小时,半径是 .
10.(2024江苏连云港高级中学月考)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.图1是一个扇环形砖雕,其形状可视为将扇形OCD截去同心扇形OBA后所得的图形,如图2,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为 m2.
能力提升练
题组一 弧度制及终边相同的角
1.(2024山东青岛期末)已知k∈Z,下列各组角中,终边相同的是( )
A.2kπ与kπ B.2kπ+π与4kπ±π
C.kπ+与2kπ±与kπ±
2.(多选题)(2023江苏无锡期末)钟表在我们的生活中随处可见,高一某班的同学们在学习了“任意角与弧度制”后,对钟表的运行产生了浓厚的兴趣,并展开了激烈的讨论.下列说法正确的是( )
A.小赵同学说:“经过5 h,时针转了-”
B.小钱同学说:“经过40 min,分针转了-”
C.小孙同学说:“当钟表显示的时刻为12:35时,时针与分针所夹的钝角为”
D.小李同学说:“钟表的时针与分针在一天内会重合22次”
3.(2022山东滕州第二中学期中)图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为 .
题组二 扇形的弧长公式和面积公式及其应用
4.(2022山东济南期末)军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米,两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=( )
注:(i)当扇形的圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等;(ii)取π等于3进行计算.
A.30密位 B.60密位
C.90密位 D.180密位
5.(2022四川眉山期末)古希腊雕刻家米隆的作品《掷铁饼者》刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间(如图).现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”,经测量“弓”长是米,“弓”所在圆的半径为1.25米,则掷铁饼者两手掌心之间的距离约为( )
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
A.2.945米 B.2.043米
C.1.768米 D.1.012米
6.(2022山东菏泽期末)中国折扇有着深厚的文化底蕴.如图所示,在半径为20 cm的半圆O中作两个扇形OAB和OCD,用扇环ABDC(图中阴影部分)制作折扇的扇面.记扇环ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当时,扇形的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径为( )
A.10()cm
C.5()cm
7.(2024山东青岛二中月考)中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.
C.π
8.(2023河北石家庄二中月考)已知扇形的圆心角α=60°,α所对的弧长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为 .
9.(2023陕西西安工业大学附属中学适应性考试)“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成,两岸连接点间距离为60米,外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为 米.
10.(2024江苏苏南八校期末联考)分别以等边三角形每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是 .
11.(2024山东青岛期末)如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.
答案与分层梯度式解析
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
基础过关练
1.B 因为<8<3π,所以α的终边位于第二象限.故选B.
2.B 分针按顺时针方向转,每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的角度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化为弧度数为-840×π,故选B.
3.答案 α<β<γ<θ=φ
解析 解法一(角度化为弧度):α=15°=15×,因为,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β=°=18°,γ=1≈57.30°,φ=°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
4.C
易错警示 角的表达式中单位必须一致,要么是弧度制,要么是角度制,不能混用.
5.答案 θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z
解析 330°角的终边与-30°角的终边相同,
又-30°=-,
∴终边落在阴影部分内的角θ的集合为θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z.
6.解析 (1)α=1 200°=1 200×+3×2π.因为<π,角α与的终边相同,
所以角α是第二象限角.
(2)由(1)可得与角α终边相同的角为2kπ+,k∈Z.
令-4π≤2kπ+≤π,k∈Z,得-≤k≤,k∈Z,
所以k=-2或k=-1或k=0.
故在[-4π,π]上与角α终边相同的角是-.
7.B 设扇形的半径为r,则扇形的面积为r2=24π,解得r=24(负值舍去),所以扇形的弧长为r=2π.故选B.
8.D 设扇形的圆心角为α,半径为R cm,弧长为l cm.
由已知可得
当时,α==8>2π,舍去;
当时,α=.
综上所述,α=.故选D.
9.答案
解析 设扇形的半径为r,圆心角为α,
则扇形的弧长为αr,
由题意得S=αr2,故α=,
所以扇形的周长l=2r+αr=(2+α)r=,
由基本不等式得l=2r+≥2,
当且仅当2r=,即r=时,等号成立,
故扇形的周长最小时,半径是.
10.答案
解析 ∠AOB=100°=,
因为OA=0.2 m,AD=0.3 m,所以OD=0.5 m,
所以S扇形OCD=×∠AOB×OD2=(m2),S扇形OAB=×∠AOB×OA2=(m2),则扇环形砖雕的面积S=S扇形OCD-S扇形OAB=(m2).
能力提升练
1.B A中,2kπ与kπ不是终边相同的角,因为2kπ的终边在x轴的非负半轴上,kπ的终边在x轴上;B中,2kπ+π与4kπ±π是终边相同的角;C中,kπ+与2kπ±不是终边相同的角,因为kπ+的终边落在直线y=x上,2kπ±的终边落在y=x(x≥0)和y=-x(x≥0)两条射线上;D中,与kπ±不是终边相同的角,因为的终边落在坐标轴上,kπ±的终边落在y轴上.
故选B.
2.ACD 经过5 h,时针转过的角度对应的弧度数为-5×,故A正确.
经过40 min,分针转过的角度对应的弧度数为-8×,故B错误.
当钟表显示的时刻为12:35时,时针与分针所夹的钝角为2π-,故C正确.
易知分针比时针多走一圈,便会重合一次,设分针走了t min,第n次和时针重合,则·t-·t=2πn,所以n=t(0≤t≤1 440),故nmax=×1 440=22,故D正确.
故选ACD.
3.答案
信息提取 ①每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);②15分钟时回到出发点A;③3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点).
数学建模 利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点)”列出不等式,解不等式得出结论.
解析 每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度.
由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z.
又小明3分钟时第一次到达劣弧之间,
所以π<3θ<,即π<,k∈Z,解得k=3,
所以θ=.
4.A 由题意得,1密位=弧度.因为圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等,所以α=弧度.因为=30,所以迫击炮转动的角度为30密位.故选A.
5.C “弓”长是米,“弓”所在圆的半径为1.25米,所以其所对的圆心角α=,所以两手掌心之间的距离为2×1.25×sin ≈1.768(米).故选C.
6.A 设∠AOB=θ,扇形OCD的半径为r1,半圆O的半径为r2.
∵,
即,
∴.∵r2=20 cm,∴r1=10(-1)cm.
7.A 如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,则点E,F分别为BC,AD的中点,且OB=OC.
因为BC∥AD,所以,即,解得OB=3,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,
所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形OAD-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=.
故选A.
8.答案
解析 扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为α所对的弧长l=6π,
所以R·=6π,解得R=18,
所以扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形内切圆的半径为r,如图所示:
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=,所以r=6,
所以扇形内切圆的面积为π·62=36π,
因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为.
9.答案 (40+30)π
解析 设月牙泉的两岸连接点分别为Q,T,外岸圆弧所在圆的圆心为O,内岸圆弧所在圆的圆心为P,月牙泉的示意图如图所示.连接QT,PQ,PT,PO.
易得PO⊥QT.由题意可知QT=60米,PQ=60米,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,所以∠QPT=.所以游客步行的路程为)π米.
10.答案 18π-18
解析 由弧长公式可得·AB=2π,解得AB=6,所以由弧和线段AB所围成的弓形的面积为,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9.
11.解析 由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△C'OB'的面积为,故B'C'左边空白图形的面积S1=,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为.
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