2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.2.1 三角函数的定义

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2025人教B版高中数学必修第三册
7.2　任意角的三角函数
7.2.1　三角函数的定义
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　三角函数的定义及其应用
1.(2023福建福州八中适应性考试)若角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α=(　　)
A.-
2.(2024河南安阳期末)已知角α(0≤α<2π)的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,P为角α的终边上一点,则α=(　　)
A.
3.若角α的终边过点P(3a-6,a+1),且sin α>0,cos α≤0,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1,2]　　　　B.[1,2]　　　　C.(-1,2]　　　　D.(1,2)
4.(2022安徽安庆期末)若角α的终边经过点P(-m,6),且cos α=,则tan α=　　　　.
5.(2024河南洛阳栾川第一高级中学期末)已知角α终边上一点P的坐标为(m,4m),其中m≠0.
(1)若α∈,求sin α,cos α,tan α的值;
(2)求的值.
题组二　三角函数值的符号
6.(2024福建师范大学附属中学期末)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在x轴的非负半轴上,则“α是第一或第二象限角”是“sin α>0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
7.(多选题)(2023安徽江南十校联考)下列三角函数值为负数的是(　　)
A.tan　　　　　　B.tan 505°
C.sin 7.6π　　　　　　D.sin 186°
8.(多选题)(2024广东深圳盐田高级中学期末)若角α的终边经过点P(t,-2t)(t<0),则下列结论正确的是(　　)
A.α是钝角
B.α是第二象限角
C.tan α=-2
D.点(cos α,sin α)位于第四象限
9.判断下列各式的符号.
(1)sin 340°cos 265°;
(2)sin 4tan;
(3)(θ为第二象限角).
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　三角函数的定义及其应用
1.(2023河北衡水第十三中学质检)已知第二象限角α的终边经过点(tan α+4,12),则tan α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.2　　　　B.-6　　　　C.-2　　　　D.6
2.(2024湖南名校联合体联考)已知角α的终边在直线y=3x上,则sin α=(　　)
A.±　　　　D.3
3.(多选题)(2023江苏百校联考)一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值分别叫做角α的余切、余割、正割,分别记作cot α,csc α,sec α.下列叙述正确的有(　　)
A.cot=1
B.sin α·sec α=1
C.y=sec x的定义域为
D.设角α的终边经过点P(2,4),则csc α+sec α=
4. (2024福建莆田一中期末)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是　　　　.
题组二　三角函数值的符号
5.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形　　　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　　　D.以上都有可能
6.(2023辽宁部分学校联考)若<0,则α是(　　)
A.第一象限角　　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角　　　　　　D.第四象限角
7.(2022黑龙江牡丹江第三高级中学月考)使lg(sin θcos θ)+有意义的θ为(　　)
A.第一象限角　　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角　　　　　　D.第四象限角
8.(多选题)(2024内蒙古包头期末)设α是第三象限角,则下列函数值一定为负数的是(　　)
A.sin　　　　C.cos 2α　　　　D.-sin 2α
9.(2023江苏丁蜀高级中学期末)函数y=的值域是　　　　.
10.已知,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边上有一点M,且M到原点O的距离为1,求m的值及sin α的值.
答案与分层梯度式解析
7.2　任意角的三角函数
7.2.1　三角函数的定义
基础过关练
1.C　由题意得P(1,-=2,
∴sin α=-.故选C.
2.D　由题意得P点坐标为,因此α是第一象限角,又0≤α<2π,∴0<α<,又tan α=.故选D.
3.C　∵sin α>0,cos α≤0,∴解得-1故选C.
4.答案　
解析　易得r=,
所以cos α=,解得m=-8,
所以tan α=.
5.解析　(1)因为α∈,所以m>0.
由题意得,r=m,
故sin α=,cos α=,
tan α==4.
(2)当m>0时,由(1)知,sin α=,cos α=,tan α=4,故.
当m<0时,由题意得,r=m,
故sin α=,cos α=,tan α==4,故.
综上,.
6.A　若α是第一或第二象限角,则sin α>0,充分性成立;若α=,则sin α=1>0,但α=不是象限角,必要性不成立.
所以“α是第一或第二象限角”是“sin α>0”的充分不必要条件.故选A.
7.BCD　对于A,由-是第三象限角,得tan>0,因此A不满足题意;对于B,由505°=360°+145°,得505°角是第二象限角,所以tan 505°<0,因此B满足题意;对于C,由7.6π=8π-0.4π,得7.6π是第四象限角,所以sin 7.6π<0,因此C满足题意;对于D,由186°是第三象限角,得sin 186°<0,因此D满足题意.
故选BCD.
8.BC　由题知点P(t,-2t)(t<0)在第二象限内,故α是第二象限角,但第二象限角不一定是钝角,故A错误,B正确;tan α==-2,故C正确;由sin α>0,cos α<0,可知点(cos α,sin α)位于第二象限,故D错误.故选BC.
9.解析　(1)因为340°是第四象限角,265°是第三象限角,所以sin 340°<0,cos 265°<0.所以sin 340°cos 265°>0.
(2)因为π<4<,所以4是第三象限角,所以sin 4<0.
因为-,所以-是第一象限角,
所以tan>0.所以sin 4tan<0.
(3)因为θ为第二象限角,所以00,所以<0.
能力提升练
1.B　由题意得tan α=,解得tan α=-6或tan α=2,又α是第二象限角,故tan α<0,故tan α=-6.故选B.
2.A　易知直线y=3x经过第一象限和第三象限,
若角α的终边在第一象限内,则可取终边上一点(1,3),则sin α=;
若角α的终边在第三象限内,则可取终边上一点(-1,-3),则sin α=.
故sin α=±.故选A.
3.ACD　cot=1,故A正确;
sin α·sec α=sin α·=tan α,故B不正确;
y=sec x=,则cos x≠0,则x的终边不能落在y轴上,即x≠kπ+,k∈Z,故C正确;
∵角α的终边经过点P(2,4),∴r=,
∴csc α=,sec α=,∴csc α+sec α=,故D正确.
故选ACD.
4.答案　
解析　由题可知,点P,Q在第1 804次相遇的时间t=1 804×2π÷=3 608(秒),
故点P转过的角度为×3 608=300π+,
故对应坐标为,即P.
5.C　由于sin Acos Btan C<0且sin A>0,所以cos B·tan C<0,所以B,C中有且只有一个角为钝角,所以△ABC是钝角三角形.故选C.
6.D　由>0可知tan α与sin α同号,
故α是第一或第四象限角;
由<0可知tan α与cos α异号,
故α是第三或第四象限角.
所以α是第四象限角.故选D.
7.C　依题意得,sin θcos θ>0且-cos θ≥0.
由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号,则θ为第一或第三象限角.
由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二或第三象限角,或角θ的终边在y轴上,或角θ的终边在x轴非正半轴上.
所以θ为第三象限角.故选C.
8.BD　对于A,B,由已知可得,π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以+kπ,k∈Z,
当k为偶数时,设k=2n,n∈Z,则+2nπ,n∈Z,此时为第二象限角;
当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z,则+2nπ,n∈Z,此时为第四象限角,
综上所述,为第二或第四象限角,所以不能确定sin的正负,且tan<0,故A错误,B正确.
对于C,D,同理可得,(2k+1)·2π<2α<π+(2k+1)·2π,k∈Z,所以2α为第一或第二象限角,或2α的终边落在y轴非负半轴上,所以不能确定cos 2α的正负,且sin 2α>0,则-sin 2α<0,故C错误,D正确.
故选BD.
9.答案　{-4,0,2}
解析　易知sin x≠0,cos x≠0,所以角x的终边不在坐标轴上.
当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,sin xcos x>0,所以y=1+1-2=0;
当x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,sin xcos x<0,所以y=1-1+2=2;
当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,sin xcos x>0,所以y=-1-1-2=-4;
当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,sin xcos x<0,所以y=-1+1+2=2.
所以函数y=的值域为{-4,0,2}.
10.解析　(1)∵,∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0.②
由①②得角α的终边位于第四象限.
(2)∵OM=1,∴=1,解得m=±.
由(1)知α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由三角函数的定义知,sin α=-.
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