2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.2.2 单位圆与三角函数线

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2025人教B版高中数学必修第三册
7.2.2　单位圆与三角函数线
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　对三角函数线概念的理解
1.(2024重庆缙云教育联盟月考)如图,已知点A是单位圆与x轴的一个交点,角α的终边与单位圆的交点为P,PM⊥x轴于M,过点A作单位圆的切线交角α的终边于T,则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.已知角α的正弦线是长度为单位长度的向量,那么角α的终边在(　　)
A.y轴的非负半轴上
B.y轴的非正半轴上
C.x轴上
D.y轴上
3.(多选题)(2023辽宁葫芦岛月考)下列说法中正确的是(　　)
A.α一定时,单位圆中的正弦线也一定
B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的余弦线
D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
4.给出下列三个说法:
①的正弦线长度相等;
②的正切线长度相等;
③的余弦线长度相等.
其中正确说法的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.0
题组二　三角函数线的应用
5.sin 1,sin 1.2,sin 1.5的大小关系是(　　)
A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5
6.若-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是(　　)
A.sin αC.cos α7.(2022福建龙岩期末)已知cos α>cos β,那么下列结论成立的是(　　)
A.若α,β是第一象限角,则sin α>sin β
B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限角,则sin α>sin β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
8.(2024山东青岛月考)依据三角函数线作出下列四个判断:①sin.其中判断正确的有　　　　(填序号).
9.已知α∈,利用单位圆中的三角函数线证明下列不等式.
(1)sin α<α(2)sin α+cos α>1.
答案与分层梯度式解析
7.2.2　单位圆与三角函数线
基础过关练
1.D　由三角函数线的定义可知,角α的正弦线、余弦线、正切线分别是.故选D.
2.D　由题意可知sin α=±1,故角α的终边在y轴上.
3.AD　显然A,D正确;有相同的正弦线,但,故B错误;α与π+α的终边互为反向延长线,它们的余弦线方向相反,故C错误.
4.C　在单位圆中分别作出,由图可知,,故的正弦线长度相等.同理,在单位圆中分别作出的正切线,的余弦线(图略),可知②和③中说法均正确.故选C.
5.C　易知0<1<1.2<1.5<.在同一平面直角坐标系中作出1,1.2,1.5的正弦线.
由图可知,||,且与y轴的正方向相同,
∴sin 16.D　如图,在单位圆中,作内的一个角α及其正弦线.
由图知,||,又分别与x轴,y轴的正方向相反,与y轴的正方向相同,所以sin α7.D　对于A,由图(1)可知,cos α>cos β时,sin α对于B,由图(2)可知,cos α>cos β时,tan α对于C,由图(3)可知,cos α>cos β时,sin α对于D,由图(4)可知,cos α>cos β时,tan α>tan β,故D正确.
8.答案　②④
解析　①中,如图a所示,根据三角函数线,可得sin<0,故sin,所以①不正确;
②中,如图b所示,根据三角函数线,可得-的余弦线长度相等,方向相同,即cos,所以②正确;
③中,如图c所示,根据三角函数线,可得的正切线的长度,即tan,所以③不正确;
④中,如图d所示,根据三角函数线,可得的正弦线的长度,即sin,所以④正确.
故选②④.
9.证明　(1)如图所示,设单位圆与x轴的正半轴的交点为N,角α的终边与单位圆的交点为A,与直线x=1的交点为T,AM⊥x轴于点M,则sin α=||,tan α=||.
连接AN,则S△OAN即ON·MA∴MA<α∴sin α<α(2)由(1)知,在△OAM中,MA+OM>OA,
所以sin α+cos α>1.
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