2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.2.3 同角三角函数的基本关系式

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2025人教B版高中数学必修第三册
7.2.3　同角三角函数的基本关系式
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用同角三角函数的基本关系式求值
1.(2024重庆南开中学期末)设x∈R,则“sin x=”是“cos x=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2023重庆江津实验中学校期中)若角α为第四象限角,且cos α=,则tan α=(　　)
A.-　　　　C.-2　　　　D.2
3.(2024山东聊城期末)已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为(　　)
A.-
4.(多选题)(2022辽宁沈阳郊联体月考)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　)
A.θ∈　　　　　　B.cos θ=-
C.tan θ=-　　　　　　D.sin θ-cos θ=
题组二　齐次式的求值问题
5.(2022辽宁六校协作体期中)若,则tan α的值为(　　)
A.
6.(2022安徽马鞍山二中月考)若tan α=2,则=(　　)
A.　　　　D.2
7.(2023山东临沂期末)已知角α的终边过点(m,3)(m≠0),且,则实数m=(　　)
A.-　　　　D.6
8.(2024广东广州天河中学阶段练习)已知,则tan α=　　　　,sin2α+sin αcos α=　　　　.
9.已知tan α=,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α.
10.已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈.求:
(1)tan α;
(2).
题组三　利用同角三角函数的基本关系式化简或证明
11.化简:=(　　)
A.tan
C.1　　　　　　D.-1
12.(2024江苏扬州中学期末)设θ为第二象限角,则的值为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.±1　　　　D.cos θ
13.(2023四川江油太白中学月考)化简(1-cos α)的结果是(　　)
A.sin α　　　　B.cos α　　　　C.1+sin α　　　　D.1+cos α
14.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)
A.
15.(2023广西高考模拟)若α∈,化简:=(　　)
A.2sin α　　　　　　B.2cos α
C.-2sin α　　　　　　D.-2cos α
16.化简=　　　.
17.求证:(1)sin θ(1+tan θ)+cos θ;
(2)-2sin α+cos2αsin α=;
(3).
18.(2022湖南师范大学附属中学月考)已知f(α)=,其中α是第三象限角.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=4,求sin α,cos α的值.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用同角三角函数的基本关系式求值
1.(2024山西质检)若α∈,且2sin α-cos α=1,则=(　　)
A.
2.(2024浙江杭州期末)若sin θ+cos θ=(0<θ<π),则tan θ+2sin θcos θ的值为(　　)
A.-
3.(多选题)(2024江西南昌师范大学附属中学期中)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列正确的是(　　)
A.sin αcos α=　　　　　　B.sin α+cos α=
C.　　　　　　D.cos4α+sin 4α=
4.(2022湖北荆州石首一中月考)已知sin x=,cos x=,且x∈,则tan x=　　　　.
5.(2023山东日照一中质量检测)已知sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两根,则的值是　　　　.
题组二　齐次式的求值问题
6.(2024河南开封期末)已知,则=(　　)
A.-
7.(2023江苏前黄高级中学期末)已知函数f(x)=loga(x-2)-6(a>0且a≠1)的图象过定点A,且点A在角θ的终边上,则(3sin θ-2cos θ)2-4=(　　)
A.-
8.(2022浙江金华期末)(1)已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,求cos2α的值;
(2)已知4sin2x+6sin x-cos2x-3cos x=0,求的值.
题组三　利用同角三角函数的基本关系式化简或证明
9.(2024四川绵阳中学期末)已知cos α=tan α,则+cos4α的值为(　　)
A.2　　　　B.　　　　D.1
10.化简:=　　　　.
11.(1)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1;
(2)证明:.
答案与分层梯度式解析
7.2.3　同角三角函数的基本关系式
基础过关练
1.D　当sin x=时,cos x=±,
当cos x=时,sin x=±,
因此“sin x=”是“cos x=”的既不充分也不必要条件.故选D.
2.C　因为角α为第四象限角,且cos α=,
所以sin α=-,
所以tan α==-2.故选C.
3.A　因为tan α=-2,且0<α<π,所以α∈,
所以sin α>0,cos α<0.
又tan α==-2,sin2α+cos2α=1,
所以sin α=,cos α=-.
所以cos α-sin α=-.故选A.
4.BD　因为sin θ+cos θ=①,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,即2sin θcos θ=-,
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,
所以θ∈,又sin θ+cos θ=>0,所以|sin θ|>|cos θ|,所以θ∈,故A错误;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=②,故D正确;
联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,故B正确;
tan θ=,故C错误.故选BD.
5.D　因为,
所以tan α=-.故选D.
6.A　原式=.故选A.
7.C　由三角函数的定义得tan α=.
,解得tan α=2,即=2,解得m=.故选C.
8.答案　2;
解析　由,得,解得tan α=2,故sin2α+sin αcos α=.
9.解析　(1).将tan α=代入,原式=.
(2).
将tan α=代入,原式=.
(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α
=.
将tan α=代入,原式=.
解题模板　若题目中已知tan α的值,求关于sin α,cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)的值,可将其分子、分母同时除以cos α的整数次幂,把原式化为关于tan α的式子,然后将tan α的值代入.
10.解析　(1)2cos2α+3cos αsin α-3sin2α
==1,
即4tan2α-3tan α-1=0,解得tan α=-或tan α=1.
∵α∈,∴α为第二象限角,
∴tan α<0,∴tan α=-.
(2)原式=.
将tan α=-代入,原式=.
11.D　原式==-1.
12.B　∵θ为第二象限角,∴cos θ<0,
又∵sin2θ+cos2θ=1,
∴=-1.故选B.
13.A　原式=(1-cos α)=·(1-cos α)==sin α.
14.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
15.D　∵α∈,∴sin α>0,cos α<0,且|sin α|<|cos α|,∴sin α+cos α<0,sin α-cos α>0,
∴
=
=|sin α-cos α|+|sin α+cos α|
=sin α-cos α-sin α-cos α=-2cos α.故选D.
16.答案　0
解析　原式==0.
17.证明　(1)左边=sin θ+cos θ
=sin θ++cos θ==右边,
所以原等式成立.
(2)左边=(1-2cos2α+cos4α)
==右边,
所以原等式成立.
(3)证法一:∵左边=
=
=
==右边,
∴原等式成立.
证法二:∵右边=,
左边=
=,
∴左边=右边,原等式成立.
18.解析　(1)∵α是第三象限角,∴sin α<0,cos α<0,
∴1-cos α>0,1+cos α>0,
∴f(α)=.
(2)∵f(α)=-=4,∴sin α=-,
∴cos α=-.
能力提升练
1.B　因为2sin α-cos α=1,所以cos α=2sin α-1,
又sin2α+cos2α=1,
所以sin2α+(2sin α-1)2=1,即5sin2α-4sin α=0,解得sin α=0或sin α=,
又α∈,所以sin α=,所以cos α=,
所以.故选B.
2.B　因为sin θ+cos θ=①,
所以(sin θ+cos θ)2=,即sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,得2sin θcos θ=-<0,
又0<θ<π,故sin θ>0,cos θ<0.
易得(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=②.
联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,
则tan θ=-3,
故tan θ+2sin θcos θ=-3-,故选B.
3.ABD　对sin α-cos α=两边同时平方,得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=,所以sin αcos α=,故A正确;
因为0<α<π,sin αcos α=>0,所以sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α=,故B正确;
sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=(sin α+cos α)(sin α-cos α)=,故C错误;
cos4α+sin4α=,故D正确.
故选ABD.
4.答案　-
解析　∵x∈,∴sin x<0,cos x>0.
由sin2x+cos2x=1,可得=1,解得m=0或m=8.
当m=0时,sin x=-,cos x=,符合题意,此时tan x=-;
当m=8时,sin x=,cos x=-,不符合题意.
综上,tan x=-.
5.答案　-
解析　由根与系数的关系得sin α+cos α=-,sin αcos α=.
易知(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1,
∴=1,整理得9m2-8m-20=0,解得m=-或m=2.
由题意得Δ=36m2-32(2m+1)≥0,即9m2-16m-8≥0,∴m=2不合题意,舍去,故m=-.
∴.
6.A　由,
所以tan α=3,
则.
7.B　易得A(3,-6),所以tan θ=-2,所以(3sin θ-2cos θ)2-4=9sin2θ-12sin θcos θ+4cos2θ-4=5sin2θ-12sin θcos θ=.
故选B.
8.解析　(1)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β,
∴,
∴cos β=cos α或sin α=0.
当cos β=cos α时,∵sin β=sin α,
∴1=+2cos2α,解得cos2α=;
当sin α=0时,cos2α=1.
故cos2α的值为或1.
(2)∵4sin2x+6sin x-cos2x-3cos x=0,
∴(2sin x-cos x)(2sin x+cos x+3)=0.
∵2sin x+cos x+3>0,
∴2sin x-cos x=0,
解得tan x=.
∴.
9.A　由cos α=tan α=,得cos2α=sin α,
又cos2α+sin2α=1,所以+sin2α=1+sin α+sin2α=1+cos2α+sin2α=2.
故选A.
10.答案　
解析　原式=
=
=
=
=
=.
11.证明　(1)由tan2α=2tan2β+1,得tan2β=(tan2α-1),即,故,整理,得,即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β)·,化简,得,即sin2β=2sin2α-1.
(2)左边=
=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
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