2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.2.4 诱导公式
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.2.4 诱导公式 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 313.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 10:49:31 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第三册
7.2.4 诱导公式
基础过关练
题组一 利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2024湖北咸宁月考)cos(-330°)·tan(-120°)=( )
A.-
2.(多选题)(2024山西忻州期末)下列与sin的值相等的是( )
A.cos
C.sin
3.(2022辽宁沈阳郊联体期中)已知a=tan,则a,b,c的大小关系是 (用“>”连接).
4.求下列三角函数值.
(1)tan +cos(-1 650°)+sin ;
(2)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°;
(3)cos +cos +cos +cos .
题组二 利用诱导公式解决条件求值问题
5.(2022四川南充中学月考)若cos(α+π)=-,则sin=( )
A.
6.(2023山东乳山银滩高级中学月考)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos=( )
A.±
7.(2022北京东城期末)设cos 28°=a,则cos 62°=( )
A.-a B.a
C.
8.(2024河南信阳新县高级中学适应性考试)若sin,则cos=( )
A.
9.(2024广东深圳期末)若cos,θ∈,则sin= .
题组三 利用诱导公式化简、证明恒等式
10.(2022辽宁抚顺一中期中)化简:=( )
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
11.(2024天津和平期末)已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=( )
A. C.-1 D.1
12.(2022天津耀华中学期末)已知角A,B,C为△ABC的三个内角,若sin,则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
13.(2023吉林田家炳高级中学期末)的化简结果是( )
A.sin 5-cos 5 B.cos 5-sin 5
C.sin 5+cos 5 D.-cos 5-sin 5
14.(2024陕西西安中学月考)在①tan(π+α)=2,②sin(π-α)-sin这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决.
已知 .
(1)求的值;
(2)当α为第三象限角时,求sin(-α)-cos(π+α)-cos的值.
15.(2024四川绵阳南山中学期末)已知f(α)=.
(1)化简f(α),并求f 的值;
(2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α+1的值.
16.(2022湖南师大附中月考)设tan=m,求证:.
能力提升练
题组一 利用诱导公式解决条件求值问题
1.(2024四川泸州期末)若sin(-110°)=a,则tan 70°等于( )
A.
C.
2.(2024河北衡水郑口中学期末)若cos,则cos=( )
A.-
C.-
3.(2024山西运城期末)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,点P(m,n)是角α终边上一点,将角α的终边绕原点逆时针旋转得到角β,且,则= .
4.已知α为锐角,且cos,则sin-α+sinα-= .
题组二 利用诱导公式化简、证明恒等式
5.(多选题)(2024山东烟台招远第二中学期末)下列说法正确的有( )
A.θ为第三象限角的充要条件为sin θtan θ<0
B.若θ为第二象限角,则2θ为第三或第四象限角
C.1-sin(θ-2π)sin(π+θ)-2cos2=cos2θ
D.sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)=0
6.(2022江西临川一中期末)化简:= .
7.(2023山东德州期末)已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin2α+sin α·cos α-cos2α+的值;
(3)若f(α)f ,且,求f(α)+ f 的值.
8.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
答案与分层梯度式解析
7.2.4 诱导公式
基础过关练
1.D cos(-330°)·tan(-120°)=cos(-360°+30°)·tan(-180°+60°)=cos 30°·tan 60°=.故选D.
2.AD sin,
cos,
cos,
sin,
sin.
故选AD.
3.答案 b>a>c
解析 ∵a=-tan,
b=cos,
c=-sin,
∴b>a>c.
4.解析 (1)原式=tan+cos 1 650°+sin=-tan =-1+cos 210°--cos 30°=-.
(2)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos 90°-3sin 90°+tan 45°=-2.
(3)原式=cos+cos -cos -cos =0.
5.A cos(α+π)=-cos α=-,所以cos α=.
所以sin=cos α=.
故选A.
6.D 由角θ的终边在直线y=2x上可知,角θ为第一或第三象限角,且tan θ=2.
由得sin θ=±,
故cos=sin θ=±.故选D.
7.C 因为cos 28°=a,所以sin 28°=,所以cos 62°=cos(90°-28°)=sin 28°=.故选C.
8.B 由sin,得cos.
故选B.
解题模板 解决条件求值问题的关键是找到已知式和待求式中角的关系,根据此关系结合诱导公式进行转化,从而达到求值的目的.
9.答案
解析 因为cos=-cosθ+=-,所以cos.由θ∈得θ+,所以sin.
10.A 原式==-sin θ.
11.C 因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,
则=-1.故选C.
12.C 易知在△ABC中,A+B+C=π.
由sin可得sin,所以sin,即cos C=cos B,即B=C,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.
13.B 原式==|sin 5-cos 5|.
因为5∈,所以sin 5<0,cos 5>0,
所以=cos 5-sin 5.
14.解析 若选①tan(π+α)=2,则tan α=2.
若选②sin(π-α)-sin=cos(-α),则sin α-cos α=cos α,即sin α=2cos α,则tan α=2.
若选③2sin,则2cos α=sin α,即tan α=2.
(1).
将tan α=2代入,原式==8.
(2)当α为第三象限角时,cos α=-,sin α=-.
sin(-α)-cos(π+α)-cos
=-sin α+cos α+sin αcos α
=-.
15.解析 (1)f(α)==tan α,
则f=tanπ-=-tan.
(2)由(1)知f(α)=tan α,
因为f(α)=2,所以tan α=2,
所以sin2α-3sin αcos α+1=.
16.证明 原式左边
=
=.
把tan=m代入,得原式左边==右边,故原等式成立.
解题模板 证明条件等式一般有两种方法:一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称为代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称为推出法.证明条件等式时,无论使用哪一种方法,都要依据要证的目标进行变形.
能力提升练
1.B 由sin(-110°)=a得sin 110°=-a,
∴sin 70°=sin(180°-110°)=sin 110°=-a,
∴tan 70°=.故选B.
2.A cos
=cos
=-cos
=-.故选A.
3.答案 3
解析 依题意知β=α+,则sin β=sin=cos α,cos β=cos=-sin α.由,因为m≠0,所以cos α≠0,故,解得tan α=3,即=3.
4.答案
解析 因为α为锐角,所以α+,
又cos,
所以sin.
所以sin.
5.CD 对于A,当θ为第三象限角时,sin θ<0,tan θ>0,所以sin θtan θ<0,
反之,当sin θtan θ<0时,有两种情况:
①若sin θ<0,tan θ>0,则θ为第三象限角;
②若sin θ>0,tan θ<0,则θ为第二象限角,故A错误.
对于B,若θ为第二象限角,即+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,则π+4kπ<2θ<2π+4kπ,k∈Z,则2θ为第三或第四象限角,或2θ的终边落在y轴非正半轴上,故B错误.
对于C,1-sin(θ-2π)sin(π+θ)-2cos2=1+sin2θ-2sin2θ=1-sin2θ=cos2θ,故C正确.
对于D,sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)=-sin 1 071°sin 99°+sin 171°sin 261°=-sin(1 080°-9°)·sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(180°+81°)=sin 9°cos 9°-sin 9°sin 81°=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°=0,故D正确.
故选CD.
6.答案 tan α
解析 原式==tan α.
7.解析 (1)f(α)==cos α.
(2)因为f(α)=,所以cos α=,
又α为锐角,所以sin α=,
则sin2α+sin αcos α-cos2α+.
(3)由(1)知f(α)=cos α.由f(α)f,得cos αsin α=,则(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α=,因为,所以cos α-sin α<0,
则f(α)+f =cos α-sin α=-.
8.证明 ①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin,
右边=cos,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin,
右边=cos,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2025人教B版高中数学必修第三册
7.2.4 诱导公式
基础过关练
题组一 利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2024湖北咸宁月考)cos(-330°)·tan(-120°)=( )
A.-
2.(多选题)(2024山西忻州期末)下列与sin的值相等的是( )
A.cos
C.sin
3.(2022辽宁沈阳郊联体期中)已知a=tan,则a,b,c的大小关系是 (用“>”连接).
4.求下列三角函数值.
(1)tan +cos(-1 650°)+sin ;
(2)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°;
(3)cos +cos +cos +cos .
题组二 利用诱导公式解决条件求值问题
5.(2022四川南充中学月考)若cos(α+π)=-,则sin=( )
A.
6.(2023山东乳山银滩高级中学月考)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos=( )
A.±
7.(2022北京东城期末)设cos 28°=a,则cos 62°=( )
A.-a B.a
C.
8.(2024河南信阳新县高级中学适应性考试)若sin,则cos=( )
A.
9.(2024广东深圳期末)若cos,θ∈,则sin= .
题组三 利用诱导公式化简、证明恒等式
10.(2022辽宁抚顺一中期中)化简:=( )
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
11.(2024天津和平期末)已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=( )
A. C.-1 D.1
12.(2022天津耀华中学期末)已知角A,B,C为△ABC的三个内角,若sin,则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
13.(2023吉林田家炳高级中学期末)的化简结果是( )
A.sin 5-cos 5 B.cos 5-sin 5
C.sin 5+cos 5 D.-cos 5-sin 5
14.(2024陕西西安中学月考)在①tan(π+α)=2,②sin(π-α)-sin这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决.
已知 .
(1)求的值;
(2)当α为第三象限角时,求sin(-α)-cos(π+α)-cos的值.
15.(2024四川绵阳南山中学期末)已知f(α)=.
(1)化简f(α),并求f 的值;
(2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α+1的值.
16.(2022湖南师大附中月考)设tan=m,求证:.
能力提升练
题组一 利用诱导公式解决条件求值问题
1.(2024四川泸州期末)若sin(-110°)=a,则tan 70°等于( )
A.
C.
2.(2024河北衡水郑口中学期末)若cos,则cos=( )
A.-
C.-
3.(2024山西运城期末)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,点P(m,n)是角α终边上一点,将角α的终边绕原点逆时针旋转得到角β,且,则= .
4.已知α为锐角,且cos,则sin-α+sinα-= .
题组二 利用诱导公式化简、证明恒等式
5.(多选题)(2024山东烟台招远第二中学期末)下列说法正确的有( )
A.θ为第三象限角的充要条件为sin θtan θ<0
B.若θ为第二象限角,则2θ为第三或第四象限角
C.1-sin(θ-2π)sin(π+θ)-2cos2=cos2θ
D.sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)=0
6.(2022江西临川一中期末)化简:= .
7.(2023山东德州期末)已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin2α+sin α·cos α-cos2α+的值;
(3)若f(α)f ,且,求f(α)+ f 的值.
8.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
答案与分层梯度式解析
7.2.4 诱导公式
基础过关练
1.D cos(-330°)·tan(-120°)=cos(-360°+30°)·tan(-180°+60°)=cos 30°·tan 60°=.故选D.
2.AD sin,
cos,
cos,
sin,
sin.
故选AD.
3.答案 b>a>c
解析 ∵a=-tan,
b=cos,
c=-sin,
∴b>a>c.
4.解析 (1)原式=tan+cos 1 650°+sin=-tan =-1+cos 210°--cos 30°=-.
(2)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos 90°-3sin 90°+tan 45°=-2.
(3)原式=cos+cos -cos -cos =0.
5.A cos(α+π)=-cos α=-,所以cos α=.
所以sin=cos α=.
故选A.
6.D 由角θ的终边在直线y=2x上可知,角θ为第一或第三象限角,且tan θ=2.
由得sin θ=±,
故cos=sin θ=±.故选D.
7.C 因为cos 28°=a,所以sin 28°=,所以cos 62°=cos(90°-28°)=sin 28°=.故选C.
8.B 由sin,得cos.
故选B.
解题模板 解决条件求值问题的关键是找到已知式和待求式中角的关系,根据此关系结合诱导公式进行转化,从而达到求值的目的.
9.答案
解析 因为cos=-cosθ+=-,所以cos.由θ∈得θ+,所以sin.
10.A 原式==-sin θ.
11.C 因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,
则=-1.故选C.
12.C 易知在△ABC中,A+B+C=π.
由sin可得sin,所以sin,即cos C=cos B,即B=C,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.
13.B 原式==|sin 5-cos 5|.
因为5∈,所以sin 5<0,cos 5>0,
所以=cos 5-sin 5.
14.解析 若选①tan(π+α)=2,则tan α=2.
若选②sin(π-α)-sin=cos(-α),则sin α-cos α=cos α,即sin α=2cos α,则tan α=2.
若选③2sin,则2cos α=sin α,即tan α=2.
(1).
将tan α=2代入,原式==8.
(2)当α为第三象限角时,cos α=-,sin α=-.
sin(-α)-cos(π+α)-cos
=-sin α+cos α+sin αcos α
=-.
15.解析 (1)f(α)==tan α,
则f=tanπ-=-tan.
(2)由(1)知f(α)=tan α,
因为f(α)=2,所以tan α=2,
所以sin2α-3sin αcos α+1=.
16.证明 原式左边
=
=.
把tan=m代入,得原式左边==右边,故原等式成立.
解题模板 证明条件等式一般有两种方法:一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称为代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称为推出法.证明条件等式时,无论使用哪一种方法,都要依据要证的目标进行变形.
能力提升练
1.B 由sin(-110°)=a得sin 110°=-a,
∴sin 70°=sin(180°-110°)=sin 110°=-a,
∴tan 70°=.故选B.
2.A cos
=cos
=-cos
=-.故选A.
3.答案 3
解析 依题意知β=α+,则sin β=sin=cos α,cos β=cos=-sin α.由,因为m≠0,所以cos α≠0,故,解得tan α=3,即=3.
4.答案
解析 因为α为锐角,所以α+,
又cos,
所以sin.
所以sin.
5.CD 对于A,当θ为第三象限角时,sin θ<0,tan θ>0,所以sin θtan θ<0,
反之,当sin θtan θ<0时,有两种情况:
①若sin θ<0,tan θ>0,则θ为第三象限角;
②若sin θ>0,tan θ<0,则θ为第二象限角,故A错误.
对于B,若θ为第二象限角,即+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,则π+4kπ<2θ<2π+4kπ,k∈Z,则2θ为第三或第四象限角,或2θ的终边落在y轴非正半轴上,故B错误.
对于C,1-sin(θ-2π)sin(π+θ)-2cos2=1+sin2θ-2sin2θ=1-sin2θ=cos2θ,故C正确.
对于D,sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)=-sin 1 071°sin 99°+sin 171°sin 261°=-sin(1 080°-9°)·sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(180°+81°)=sin 9°cos 9°-sin 9°sin 81°=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°=0,故D正确.
故选CD.
6.答案 tan α
解析 原式==tan α.
7.解析 (1)f(α)==cos α.
(2)因为f(α)=,所以cos α=,
又α为锐角,所以sin α=,
则sin2α+sin αcos α-cos2α+.
(3)由(1)知f(α)=cos α.由f(α)f,得cos αsin α=,则(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α=,因为,所以cos α-sin α<0,
则f(α)+f =cos α-sin α=-.
8.证明 ①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin,
右边=cos,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin,
右边=cos,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)