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2025人教B版高中数学必修第三册
7.3.2 正弦型函数的性质与图象
基础过关练
题组一 正弦型函数的性质
1.(多选题)(2023广东佛山顺德乐从中学质量检测)已知函数f(x)=3sin,下列结论正确的是( )
A.函数f(x)恒满足f(x+π)=f(x)
B.直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴
C.点是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)在上单调递增
2.(2024福建福州第一中学期末)试写出一个函数f(x),使其满足以下三个条件:函数的周期为π;函数的图象关于直线x=对称;函数在上单调递减.f(x)的解析式可以为f(x)= .
3.(2024山东济南期末)已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期不小于π,且f(x)≤ f 恒成立,则ω的值为 .
4.(2024河南南阳镇平第一高级中学月考)已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,2π]上的单调递增区间;
(3)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.
题组二 正弦型函数的图象及其变换
5.将函数y=2sin个周期后,所得图象对应的函数解析式为( )
A.y=2sin
C.y=2sin
6.(2024河北廊坊第十五中学期末)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位,得到函数y=sin的图象,则f(x)= .
7.(2023山东枣庄期中)已知函数f(x)=sin.
(1)用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象;
(2)说明此函数图象可由y=sin x的图象经怎样的变换得到.
题组三 函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定
8.已知函数f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该函数的最小正周期T和初相φ分别为( )
A.T=6,φ= B.T=6,φ=
C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=
9.(2022湖南益阳期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
题组四 三角函数图象与性质的综合应用
10.(多选题)(2024安徽合肥期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.f(x)的图象关于点中心对称
B.f(x)在区间上单调递增
C.将函数f(x)的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)=2sin 2x的图象
D.方程f(x)=1在区间[0,2π]上有5个不同的实数根
11.(2023江西南昌第十中学月考)如果将函数f(x)=sin(3x+φ)(-π<φ<0)的图象向左平移个单位后所得的图象关于y轴对称,那么φ= .
12.(2023辽宁沈阳回民中学月考)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围是 .
13.(2023湖南株洲第二中学开学考试)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)先将f(x)的图象向右平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
能力提升练
题组 正弦型函数的图象与性质的应用
1.(2024天津南开期末)设函数f(x)=sin(ωx-φ)(ω>0,|φ|<π).若f,且f(x)的最小正周期T大于2π,则( )
A.ω=,φ=- B.ω=,φ=
C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
2.(2024湖南长沙明德中学期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于( )
A. B.0 C.+2 D.-2
3.(2022四川南充高级中学月考)将函数f(x)=2sin的图象向右平移4t(t>0)个单位,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若对任意的x∈R均有g(x)≥g成立,则y=g(x)的图象( )
A.关于直线x=-对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于点对称
4.(多选题)(2023湖北武汉调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且直线y=1与函数f(x)的图象的两个交点之间的最短距离为π,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的单调递减区间是,k∈Z
C. f(x)的图象关于直线x=-对称
D. f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为奇函数
5.(2024河南南阳一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1的图象过原点,且关于点对称,若函数f(x)在上单调,则f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.(2024江西宜春宜丰中学月考)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π),f(4)=f(2)-6,且f(x)在[2,4]上单调.设函数g(x)=f(x)-1,且g(x)的定义域为[-5,8],则g(x)的所有零点之和为( )
A.0 B.4 C.12 D.16
7.已知函数f(x)=2sin,若f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是 .
8.(2024浙江湖州期末)已知f(x)=sin,其中φ∈,且f,若函数f(x)在区间上有且只有三个零点,则θ的取值范围为 .
9.(2023河南漯河高中开学考试)已知函数f(x)=,把f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,若g(x1)·g(x2)=2(x2>x1>0),则x1+x2的最小值为 .
10.(2023湖北武汉部分重点中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
11.(2023辽宁省实验中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的部分自变量、函数值如下表所示.
x
ωx+φ 0 π 2π
f(x) 2 5
(1)根据上表提供的信息,补充表中缺失的数据,并写出函数f(x)的解析式和f(x)图象的对称中心;
(2)设g(x)=sin(ωx+φ),若不等式[g(x)]2+2a·g+1+2a>0对任意的x∈恒成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
7.3.2 正弦型函数的性质与图象
基础过关练
1.ABC f(x)的最小正周期T==π,所以f(x+π)=f(x),故A正确;
令2x++kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,所以直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以点是函数f(x)图象的一个对称中心,故C正确;
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,显然f(x)在上不单调,故D错误.故选ABC.
2.答案 -sin 2x(答案不唯一)
解析 由条件可设f(x)=Asin(ωx+φ),由函数的周期为π,可知ω的值可以为2,因为函数的图象关于直线x=对称,所以2×+kπ,k∈Z,所以φ=kπ,k∈Z,不妨取φ=0,则f(x)=Asin 2x,当x∈时,2x∈,又函数在上单调递减,所以A<0,则A的值可以为-1,所以满足条件的一个函数f(x)的解析式为f(x)=-sin 2x(答案不唯一).
3.答案 1
解析 因为函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期不小于π,所以≥π,所以0<ω≤2,因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)的最大值为f,所以+2kπ,k∈Z,所以ω=1+8k,k∈Z,因为0<ω≤2,所以ω=1.
4.解析 (1)f(x)的最小正周期T==π.
(2)f(x)=2sin,
令+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
又x∈[0,2π],所以k可取0,1,
所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为.
(3)因为x∈,所以2x-,
所以当2x-,即x=0时,f(x)max=-2×;
当2x-,即x=时,f(x)min=-2×1=-2.
5.D 易知函数y=2sin=π,所以,故将y=2sin个单位后得到函数y=2sin的图象.故选D.
6.答案 sin
解析 将函数y=sin个单位,可得y=sin的图象,
再将y=sin的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,可得y=sin的图象,所以f(x)=sin.
7.解析 (1)按五个关键点列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 1 0 -1 0
描点,并用光滑的曲线将它们连接起来,可得f(x)在一个周期内的图象如图所示.
(2)解法一:先将函数y=sin x图象上的所有点向左平移个单位,得到函数y=sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,即可得函数f(x)=sin的图象.
解法二:先将函数y=sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin 2x的图象,再将所得图象上的所有点向左平移个单位,即可得函数f(x)=sin的图象.
8.A T==6.∵f(x)的图象过点(0,1),
∴sin φ=.
9.C 由题图得最小正周期T==π,所以ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ).因为当x=时,函数f(x)=Asin(2x+φ)取得最大值,所以2×+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=Asin.又函数f(x)的图象过点,所以-,解得A=3,所以f(x)=3sin2x-.故选C.
10.ABD 由题图可知A=2,最小正周期T=4×=π,所以ω==2,又f=2,所以2sin=2,即+2kπ,k∈Z,结合|φ|<,可知k=0,φ=,所以函数f(x)=2sin.
对于A,因为f=0,所以f(x)的图象关于点中心对称,故A正确;对于B,当x∈时,2x+,由正弦函数的单调性可知y=sin x在上单调递增,又,故f(x)在区间上单调递增,故B正确;对于C,将函数f(x)的图象向右平移个单位可以得到函数y=2sin的图象,故C错误;对于D,令f(x)=2sin=1,即sin2x+=,则2x+,k∈Z或2x+,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=kπ+,k∈Z,令0≤kπ≤2π,k∈Z,解得k=0,1,2,对应的x=0,π,2π;令0≤kπ+≤2π,k∈Z,解得k=0,1,对应的x=,则方程f(x)=1在区间[0,2π]上有5个不同的实数根,故D正确.故选ABD.
11.答案 -
解析 将函数f(x)=sin(3x+φ)的图象向左平移个单位,得到y=sin的图象.
由题意得y=sin为偶函数,
所以+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,
又φ∈(-π,0),所以φ=-.
12.答案 (0,2]
解析 由题意得g(x)=2sin=2sin ωx.
因为0≤x≤,ω>0,所以0≤ωx≤ω.
因为函数g(x)在区间上单调递增,所以ω≤,所以ω≤2.又ω>0,所以0<ω≤2.
13.解析 (1)由题图可知A=2,最小正周期T=2×=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).
又因为f=0,即2sin=0,所以-+φ=2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=.所以f(x)=2sin.
(2)由(1)知f(x)=2sin.将f(x)的图象向右平移个单位,得到y=f=2sin2=2sin的图象,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)=2sin的图象.
令-+2kπ≤x-+2kπ,k∈Z,
解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
能力提升练
1.C 由f(x)的最小正周期大于2π,可得,
因为f,所以,
所以T=3π,又ω>0,所以ω=,
所以f(x)=,
由f,即sin=1,可得+2kπ,k∈Z,则φ=--2kπ,k∈Z,因为|φ|<π,所以k=0,φ=-.
故选C.
2.B 由题图可知,A=2,最小正周期T=8,则ω=,故f(x)=2sin,
又f(0)=0,|φ|<,所以φ=0,故f(x)=2sin x.
根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=, f(2)=-f(6)=2, f(4)=f(8)=0,
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]=0.故选B.
3.C 将函数f(x)=2sin的图象向右平移4t(t>0)个单位,得到y=2sin的图象,再将图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到y=2sin的图象,故g(x)=2sin.
对任意的x∈R,g(x)≥g恒成立,则g(x)min=g,所以sin=-1,即+2kπ,k∈Z,解得2t=-2kπ,k∈Z.
故g(x)=2sin,k∈Z.
g=-1≠±2,故A错误;
g≠±2,故B错误;
g=2sin(-π)=0,所以g(x)的图象关于点对称,故C正确;
g≠0,故D错误.故选C.
4.ABD 由直线y=1与函数f(x)的图象的两个交点之间的最短距离为π,可知最小正周期为π,故A正确;
ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),因为f(x)的图象关于点对称,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又0<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin,令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故B正确;
f=sin ≠±1,故C错误;
f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y=sin=sin 2x,为奇函数,故D正确.
故选ABD.
5.D 因为f(0)=2sin φ+1=0,所以sin φ=-,即φ=2kπ-,k∈Z或φ=2kπ-,k∈Z.又-π<φ<-,所以φ=-,所以f(x)=2sin+1.因为f(x)的图象关于点对称,所以=kπ,k∈Z,所以ω=+6,k∈Z.因为x∈,ω>0,所以ωx-.又函数f(x)在上单调,所以所以0<ω≤6.因为ω∈N*,所以当k=0时,ω=6.易知f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期,所以由最小正周期T=.故选D.
6.C 易得f(x)∈[-3,3].
∵f(2)-f(4)=6,∴f(2)=3,f(4)=-3.
又f(x)在[2,4]上单调,∴最小正周期T=2×(4-2)=4,
∴ω=,∴sin(2π+φ)=sin φ=-1,
又|φ|<π,∴φ=-,∴f(x)=3sin(x-1),
∴g(x)=f(x)-1=3sin(x-1)-1.
令g(x)=0,则sin(x-1)=.
作函数y=sin(x-1)的图象与直线y=,如图所示.
由图可知,在x∈[-5,8]上,函数y=sin(x-1)的图象与直线y=有6个交点,∴函数g(x)在[-5,8]上有6个零点,其和为-2×2+2×2+6×2=12.故选C.
7.答案
解析 f(x)=2sin图象的对称轴方程满足ωx++kπ,k∈Z,则x=,k∈Z.因为f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),所以>π,即ω<1,故<ω<1.
由k∈Z,解得k+≤ω≤,k∈Z.令k=0,得≤ω≤.
8.答案
解析 由f =f 可知,函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x=,
所以+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
又φ∈,所以φ=,所以f(x)=sin.
当x∈时,,由函数f(x)在区间上有且只有三个零点,可得3π<≤4π,解得<θ≤5π.
9.答案
解析 由题意得g(x)=f,所以 x∈R,g(x)≤.
由g(x1)·g(x2)=2(x2>x1>0),得g(x1)=g(x2)=或g(x1)=g(x2)=-.
若g(x1)=g(x2)=,则2x1++2mπ,k,m∈N,且m>k,所以2x1+=π+2nπ,n∈N*,即x1+x2=+nπ,n∈N*,故当n=1时,x1+x2取得最小值,为;
若g(x1)=g(x2)=-,则2x1++2mπ,k,m∈N,且m>k,所以2x1+=3π+2nπ,n∈N*,即x1+x2=+(n+1)π,n∈N*,故当n=1时,x1+x2取得最小值,为.
综上,x1+x2的最小值为.
10.解析 (1)由题图可知最小正周期T==2,
则f(x)=sin(2x+φ),
又f=1,即sin+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|≤,
故f(x)=.
(2)由题意得g(x)=.
方程g(x)-m=0在区间上有两个实数解,即直线y=m与函数 g(x)=上有两个不同的交点.
作出函数g(x)在上的图象,如图所示:
由图可知,实数m的取值范围为[1,).
解题模板 解决与三角函数有关的方程根的问题时,要充分运用函数的图象,一方面利用图象确定交点的个数和位置,另一方面利用图象的对称性寻求交点的横(纵)坐标间的数量关系,进而得出相关结论.
11.解析 (1)由题表得最小正周期T=4×=π,所以ω=2.又x=时,ωx+φ=,即2×,所以φ=.
由
所以f(x)=3sin+2.
补充表格如下:
x - -
ωx+φ 0 π 2π
f(x) 2 5 2 -1 2
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
(2)由(1)得g(x)=sin,所以g.
代入不等式[g(x)]2+2a·g+1+2a>0,
得sin 2-2a·sin+1+2a>0.
令t=sin,
因为x∈,所以0≤2x+,所以0≤t≤1.
所以问题转化为t2-2at+1+2a>0在t∈[0,1]上恒成立,即2a(t-1)当t=1时,0<2,显然成立.
当0≤t<1时,t-1<0,所以2a>在t∈[0,1)上恒成立,即2a>,t∈[0,1).
令m(t)=+2,
易知m(t)在[0,1)上单调递减,所以m(t)max=m(0)=-1,所以2a>-1,解得a>-.
综上,实数a的取值范围为.
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