2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.3.4 正切函数的性质与图象

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2025人教B版高中数学必修第三册
7.3.4　正切函数的性质与图象
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.(2024江西宜春九中月考)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是(　　)
A.x=-　　　　B.x=　　　　C.x=　　　　D.x=-
2.函数y=tan,x∈的值域为　　　　　.
3.(2024上海浦东新区期中)函数f(x)=tan2x-tan x,x∈的最大值与最小值之和为　　　　.
题组二　正切(型)函数的奇偶性、周期性、单调性、图象的对称性
4.(多选题)(2024内蒙古呼和浩特期中)已知函数f(x)=tan(ωx+φ),其图象的两个相邻的对称中心间的距离为,且f(0)=,则函数f(x)的(　　)
A.最小正周期为
B.定义域为
C.图象的对称中心为,0(k∈Z)
D.单调递增区间为(k∈Z)
5.(2023江苏句容高级中学期末)设a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>c>b　　　　B.ab>c　　　　D.a6. (2024山东青岛期末)已知f(x)=2 023sin x+2 024tan x-1,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=　　　　.
题组三　正切(型)函数的图象及应用
7.(2023广东人大附中深圳学校期末)函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是下图中的(　　)
①　　　　　　②
③　　　　　　④
A.①②③④　　　　　　B.②①③④
C.①②④③　　　　　　D.②①④③
8.(2022北京平谷期末)已知函数y=f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=(　　)
A.2+　　　　B.　　　　C.　　　　D.2-
9.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
能力提升练
题组　正切(型)函数的图象与性质的应用
1.函数y=的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
2.(2024四川德阳第五中学月考)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=sin(tan x)　　　　　　B.f(x)=tan(sin x)
C.f(x)=cos(tan x)　　　　　　D.f(x)=tan(cos x)
3.(多选题)(2024江苏徐州期末)如图,函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,且△DEF的面积为,则(　　)
A.点D的纵坐标为1
B. f(x)在上单调递增
C.点是f(x)图象的一个对称中心
D. f(x)的图象可由y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位得到
4.(2023山东东营一中期末)若函数f(x)=|tan(ωx-ω)|(ω>0)的最小正周期为4,则下列区间中是f(x)的单调递增区间的是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.(3,4)
5.(多选题)(2023辽宁沈阳东北育才学校段考)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)图象的一个对称中心是
C.f(x)的值域为[0,+∞)
D.不等式f(x)>2的解集为(k∈Z)
6.(多选题)(2022江西景德镇期中)若函数f(x)=则(　　)
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
7.(2022湖北武汉期末)已知函数y=3tan+b,x∈是增函数,值域为[-2,0],则a+b=　　　　.
8.(2023河南南阳第二中学期中)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),且与x轴的两个相邻的交点分别为.若t≥2且f(t)≥1,则t的最小值为　　　　.
9.(2024上海向明中学期中)若函数f(x)=7tan x,g(x)=5sin 2x,则y=f(x)和y=g(x)在x∈的所有公共点的横坐标的和为　　　　.
10.已知函数f(x)=tan,ω>0.
(1)若ω=2,函数f(x+m)的图象经过原点,求最小正数m的值;
(2)已知函数y=f(x)在[a,b](a①用ω表示M;
②若M不小于2 024,求ω的取值范围.
11.(2024山东潍坊期末)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
7.3.4　正切函数的性质与图象
基础过关练
1.D　令2x-+kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z.
当k=-1时,x≠-,故直线x=-与函数y=tan的图象不相交.故选D.
2.答案　(-1,)
解析　∵x∈,
∴tan∈(-1,),∴函数的值域为(-1,).
3.答案　
解析　令tan x=t,因为x∈,所以t∈[-1,1],则原函数可转化为y=t2-t=,t∈[-1,1],
易知y=t2-t的图象的对称轴方程为t=,函数y=t2-t在t∈上单调递减,在t∈上单调递增,所以当t=-1时,ymax=2,当t=时,ymin=-,
所以函数f(x)=tan2x-tan x的最大值与最小值之和为2-.
4.CD　由正切函数的性质可知,其图象的两个相邻对称中心间的距离是半个周期,所以,解得ω=2,
由f(0)=tan φ=,可得φ=,则f(x)=tan,其最小正周期为,故A错误;
令2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以函数的定义域为,故B错误;
令2x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,故C正确;
令-+kπ,k∈Z,解得,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z),故D正确.故选CD.
5.A　易知函数y=tan x在上单调递增,且tan x>0,在上单调递增,且tan x<0.
因为<2<3<π,所以tan 20,所以a>c>b.故选A.
6.答案　-5
解析　令g(x)=2 023sin x+2 024tan x,
易知y=sin x与y=tan x均为奇函数,
所以g(x)也为奇函数,故g(-x)=-g(x),
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)
=g(-2)-1+g(-1)-1+g(0)-1+g(1)-1+g(2)-1
=-g(2)+g(2)-g(1)+g(1)+g(0)-5=-5.
7.C　
8.B　由题图知最小正周期T=2×,所以ω==2,所以f(x)=Atan(2x+φ).因为f=0,所以tan=0,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Atan.因为f(0)=1,所以Atan =1,即A=1,所以f(x)=tan.所以f=tan .故选B.
9.解析　不等式3+tan 2x≥0,即tan 2x≥-.
如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.
由图得,在区间内,不等式tan x≥-,∴不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x得≤x<(k∈Z),
∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
能力提升练
1.C　由题意可得
即
即
即
解得-2≤x≤-或-所以函数y=.故选C.
2.D　观察题图可知函数f(x)为偶函数,且其定义域为R.
对于A,C,函数的定义域均为,k∈Z,不是R,故排除;
对于B,函数f(x)=tan(sin x)的定义域为R,且f(-x)=tan(sin(-x))=tan(-sin x)=-tan(sin x)=-f(x),为奇函数,故排除;
对于D,函数f(x)=tan(cos x)的定义域为R,且f(-x)=tan(cos(-x))=tan(cos x)=f(x),为偶函数,故D符合.故选D.
3.AC　由已知得函数f(x)的周期为tan φ,
因为△DEF的面积为,所以tan φ=,
所以tan φ=,即点D的纵坐标为tan φ=1,故A正确;
由tan φ=可得φ=,故f(x)=,当x∈时,2x+∈-,而y=tan x在上不具有单调性,故f(x)在上不单调递增,故B错误;
令2x+,k∈Z,得x=,k∈Z,
故对任意k∈Z,点都是f(x)图象的对称中心,当k=1时,,故点是f(x)图象的一个对称中心,故C正确;
将y=tan x图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,可得y=tan 2x的图象,再把得到的图象向左平移个单位得到y=的图象,故D错误.故选AC.
4.C　作出函数y=|tan u|的图象如图所示.
由图可知,函数y=|tan u|的最小正周期为π,且其单调递增区间为(k∈Z),
则函数f(x)的最小正周期T==4,解得ω=,
所以f(x)=.
令kπ<(k∈Z),得4k+1故选C.
5.CD　f(x)=tan x+|tan x|
=
作出f(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)的最小正周期为π,A错误;f(x)的图象没有对称中心,B错误; f(x)的值域为[0,+∞),C正确;不等式f(x)>2,即x∈(k∈Z)时,2tan x>2,得tan x>1,解得+kπ(k∈Z),所以f(x)>2的解集为(k∈Z),D正确.故选CD.
6.AD　当tan x>sin x,即kπ综上, f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图中实线部分所示.
由图可得,f(x)的单调递增区间是2kπ-(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
结合f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.故选AD.
7.答案　2+
解析　由题意得a>0,当x=0时,y=-2,即-2+b,解得b=;当x=时,y=0,即3tan=0,所以(k∈Z),
又a>0,所以a=(k∈N).因为x∈时,函数y=3tan+b为增函数,所以最小正周期T==aπ≥,即a≥.所以a=(k∈N),所以k=0,所以a=2,所以a+b=2+.
8.答案　
解析　因为f(x)的图象与x轴的两个相邻的交点坐标分别为,
所以f(x)的最小正周期T=,
又因为T=,所以,解得ω=.
因为函数f(x)的图象过点,
所以
又因为A>0,|φ|<,所以A=.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=,
所以f(t)=≥1,即tan,
所以+kπ≤+kπ,k∈Z,即≤t<,k∈Z,
又t≥2,所以当k=1时,≤t<,由此可知t的最小值为.
9.答案　3π
解析　因为f(x)=7tan x的图象的对称中心为,k∈Z,g(x)=5sin 2x的图象的对称中心为,k∈Z,所以两函数的图象的交点也关于对称,k∈Z.
易知函数f(x)=7tan x,g(x)=5sin 2x的最小正周期均为π.
在同一平面直角坐标系内作出两函数在x∈内的图象,如图所示,
由图知两函数的图象共有6个交点,
设从左到右的6个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,且x1则x1,x3关于0对称,x2=0,x4,x6关于π对称,x5=π,
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π.
10.解析　(1)当ω=2时, f(x)=tan,
所以f(x+m)=tan,
因为函数f(x+m)的图象经过原点,
所以tan=0,
所以2m+=kπ,k∈Z,解得m=-,k∈Z,
又m>0,所以当k=1时,m取得最小值,为,即最小正数m的值为.
(2)①方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根,即当x∈[a,b]时,tan至少有2 024个根,即ωx+(k∈Z)至少有2 024个根,即x=(k∈Z)至少有2 024个根,且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值为M,
因此b-a至少包含2 023个周期,即b-a≥2 023×,故2 023×=M,即M=.
②若M不小于2 024,即M=≥2 024,
又ω>0,所以0<ω≤,
即ω的取值范围为.
11.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=,∴当x=时, f(x)min=-;当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可得g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,故θ的取值范围是+kπ,k∈Z.
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