2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--7.4 数学建模活动：周期现象的描述

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2025人教B版高中数学必修第三册
7.4　数学建模活动:周期现象的描述
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(多选题)(2023湖北黄冈部分高中期中联考)某弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:m)与时间t(单位:s)满足y=10cos,t∈[0,+∞),则下列说法中正确的是(　　)
A.振幅为10　　　　　　B.周期为
C.频率为　　　　　　D.初相位为
2.(2024甘肃兰州期末)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s(t)=3sin,那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和往返一次所需的时间(秒)为(　　)
A.3,4　　　　B.-3,4　　　　C.3,2　　　　D.-3,2
3.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数解析式为I=Asin(ωt+φ)(ω>0,0<φ<π),其图象如图所示,则t= s时的电流强度为(　　)
A.0 A　　　　　　B.-5 A
C.10 A　　　　　　D.-10 A
4.(2023广东揭阳期末)如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为　　　　s.(答案用分数表示).
题组二　三角函数模型在生活中的应用
5.(2024浙江宁波期末)据长期观察,某学校周边6时到18时之间的车流量y与时间t满足如下函数关系式:y=Asin+300(A为常数,6≤t≤18).已知8:30(即t=8.5)时的车流量为500,则15:30(即t=15.5)时的车流量约为(参考数据:≈1.41)(　　)
A.441　　　　　　B.159　　　　
C.473　　　　　　D.127
6.(2024吉林长春朝阳实验中学期末)已知人的血压在不断变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.若某人某次测得自己的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期为0.75 s,他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足p(t)=b+asin ωt(a,ω>0),则p(13)=(　　)
A.114　　　　　　B.102+12
C.96　　　　　　D.102-12
7.(2024北京密云期末)如图,某“葫芦曲线”经过相同的间隔振幅就变化一次,且过点P,其对应的关系式为|y|=·|sin ωx|(x≥0),其中[x]为不超过x的最大整数,0<ω<5.若该“葫芦曲线”上一点M到y轴的距离为π,则点M到x轴的距离为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
题组三　三角函数模型的建立及应用
8.(2022北京八一学校月考)为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖指向位置P(x,y).若初始位置为P0,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(秒)的函数关系式为(　　)
A.y=sin　　　　　　B.y=sin
C.y=sin　　　　　　D.y=sin
9.(2023湖北六校期中联考)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某通宵营业的大型商场为响应国家节能减排的号召,在气温低于0 ℃时才开放中央空调,否则关闭中央空调.该地冬季某一天的气温(单位:℃)随时间t(0≤t≤24,单位:时)变化的部分曲线如图所示,该曲线近似满足f(t)=Asinωt-+b(A>0,ω>0).
(1)求y=f(t)的表达式;
(2)求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
10.(2024山东淄博沂源第二中学月考)一个半径为3.2米的水轮的示意图如图所示,水轮的圆心O距离水面1.6米,且水轮按顺时针方向匀速转动,每45秒转动一圈.如果以水轮上点P刚从水面浮现时(图中点P0的位置)开始计时,记点P距离水面的高度h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+B,P在水面以下时,h取负数.
(1)求在水轮转动的一圈内,点P距离水面的高度h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数解析式;
(2)求在水轮转动的一圈内,点P在水面下方的时长.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2023山西大学附属中学段考)已知某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),其图象如图所示.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间(单位:s)分别为t1,t2,t3(0A.19　　　　B.20　　　　C.40　　　　D.41
2.(多选题)(2024山东菏泽鄄城第一中学期末)如图,弹簧挂着的小球做上下振动,小球的最高点与最低点间的距离为10 cm,它在t s时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h(t)=Asin确定,其中A>0,t≥0,则下列说法正确的是(　　)
A.小球在往复振动一次的过程中,从最高点运动至最低点用时2 s
B.小球在往复振动一次的过程中,经过的路程为20 cm
C.小球从初始位置开始振动,重新回到初始位置时所用的最短时间为 s
D.小球从初始位置开始振动,若经过最高点和最低点的次数均为10,则所用时间(单位:s)的范围是
题组二　三角函数模型在生活中的应用
3.(2024湖南岳阳一中入学考试)某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均价格y(单位:元/平方米)与第x季度之间近似满足关系式y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0).已知第一、二季度的平均价格分别为10 000元/平方米,9 500元/平方米,则此楼盘在第三季度的平均价格(单位:元/平方米)大约是(　　)
A.10 000　　　　B.9 500　　　　C.9 000　　　　D.8 500
4.(多选题)生物研究小组观察发现,某地区一昆虫种群的数量y在8月份期间随时间t(单位:日,t∈N*)的变化近似地满足函数关系式y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0),且在8月1日时数量达到最低值700,此后逐日增长,8月7日达到最高值900,则(　　)
A.ω=
B.A=450
C.8月17日至23日,该地区此昆虫种群的数量逐日减少
D.8月份中,该地区此昆虫种群的数量不少于850的天数为13
5.(多选题)(2023福建漳州三中期末)气候变化是人类面临的全球性问题.某校高一学生为研究“碳排放与气候变化问题”,观察并记录了某天部分时刻的温度变化,其变化曲线近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),如图,则下列说法正确的是(　　)
A.φ=
B.函数f(x)的最小正周期为16π
C. x∈R,f(x)+f(x+8)=40
D.若g(x)=f(x+m)是偶函数,则|m|的最小值为2
6.(2023河北邢台第二中学期末)有一个半径为R的水车的示意图如图所示,一个水斗从点A(1,-)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒,经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<,若当t∈[0,m)时,恰有3个t值使函数f(t)取得最大值,则实数m的取值范围是　　　　.
题组三　三角函数模型的建立及应用
7.(2022山东潍坊期中)潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象,是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所出现的周期性现象,我们把海面垂直方向涨落称为潮汐,地球上不同地点的潮汐规律不同.下表给出了某沿海港口在一天(24小时)中海水深度的部分统计数据:
时间t/时 0 2 4 6 8 10 12
水深h/米 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6
时间t/时 14 16 18 20 22 24
水深h/米 6 6.6 8 10 12 13.4
(1)结合表中数据,在给出的平面直角坐标系中,画出该港口在一天(24小时)中海水深度h(米)与时间t(时)的函数图象,并根据所学知识,从h(t)=at2+bt+c(a>0),h(t)=2t,h(t)=Asin(ωt+φ)+B,h(t)=Acos(ωt+φ)+B这四个函数解析式中,选取一个合适的函数模型描述该港口在一天(24小时)中水深h(米)与时间t(时)的关系,求出其解析式;
(2)现有一货轮需进港卸货,在白天进行物资补给并于当天晚上离港.已知该货轮进港时的吃水深度(水面到船底的距离)为10米,卸货后吃水深度减少0.8米,根据安全航行的要求,船底至少要留出2.8米的安全间隙(船底到海底的距离),如果你是船长,请你规划货轮的进港、离港时间,并计算出货轮在该港口停留的最短时长.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
答案与分层梯度式解析
7.4　数学建模活动:周期现象的描述
基础过关练
1.AC　由题可知,振幅为10,周期T=,频率f=,初相位为-.故选AC.
2.A　∵s(t)=3sin,∴单摆来回摆动的振幅为3厘米,往返一次所需的时间为2π×=4(秒),故选A.
3.A　由题图知A=10,最小正周期T=2×,所以ω==100π.将点代入I=10sin(100πt+φ),得10sin=10,所以φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故函数解析式为I=10sin.
将t= s代入函数解析式,得I=0 A.
4.答案　
解析　由题图得,最小正周期T=0.02,φ=0,故ω==100π,所以U=311sin 100πt.
在区间[0,0.02]内,令311sin 100πt=,得100πt=或100πt=,解得t=或t=;
同理,令311sin 100πt=-,得t=或t=.
所以电压的绝对值超过(s).
5.A　由题意可得500=Asin+300,可得200=Asin,解得A=200,
所以y=200sin+300,
当t=15.5时,y=200sin+300≈100×1.41+300=441.故选A.
6.B　由题意得
故p(t)=102+24sin t,则p(13)=102+24sin =102+24sin .故选B.
7.D　当0≤x<时,0≤<1,则=0,此时关系式为|y|=2|sin ωx|,∵曲线过点P+kπ(k∈Z),即ω=2+4k(k∈Z),∵0<ω<5,∴ω=2.当π≤x<时,2≤<3,则=2,此时关系式为|y|=|sin 2x|,又∵.故选D.
8.C　设函数关系式为y=Asin(ωx+φ)ω<0,0<φ<.
易知函数的周期T=60 s,
∴ω=-,
又A==1,
∴y=sin.
∵初始位置为P0,∴t=0时,y=.
∴sin φ=.
∴函数关系式为y=sin.故选C.
9.解析　(1)由题图得,A==15-3=12,所以T==24,又ω>0,所以ω=,
所以f(t)=8sin+4(0≤t≤24).
(2)令8sin+4<0,即sin,
所以+2kπ,k∈Z,
解得23+24k又因为0≤t≤24,
所以取k=-1,可得0≤t<7,取k=0,可得23所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时.
10.解析　(1)由题意知h(t)的最大值为4.8,最小值为-1.6,所以
由题意可知,函数h(t)的最小正周期为45,
则ω=,所以h(t)=3.2sin+1.6.
当t=0时,h(0)=3.2sin φ+1.6=0,可得sin φ=-,
又-,所以φ=-,
所以h(t)=3.2sin+1.6,t∈[0,45].
(2)令h(t)=3.2sin+1.6<0,得sin,所以+2kπ,k∈Z,
由0≤t≤45,得-,所以,解得30又45-30=15,所以在水轮转动的一圈内,点P在水面下方的时长是15秒.
能力提升练
1.C　由题意得,最小正周期T=t3-t1=(5-t2)-(2-t2)=3,又T=,所以ω=,则y=sin.
由0≤t≤60,得φ≤t+φ≤40π+φ,
所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的最多次数,等价于1分钟内阻尼器的位移y=sin=0的最多次数,等价于区间[φ,40π+φ]内包含kπ(k∈Z)的最多个数.
因为|φ|<π,所以区间[φ,40π+φ]里包含了0,π,2π,3π,…,39π或π,2π,3π,…,40π,
所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的最多次数为40.故选C.
2.BC　由题意可知,A==5,则h(t)=5sin.
对于A,函数h(t)=Asin的最小正周期T==2,所以小球在往复振动一次的过程中,从最高点运动至最低点用时1 s,A错误;
对于B,小球在往复振动一次的过程中,经过的路程为20 cm,B正确;
对于C,当t=0时,h(0)=5sin,由h(t)=5sin可得πt+(k∈Z)或πt+(n∈Z),
解得t=2k(k∈Z)或t=2n+(n∈Z),
又t≥0,故t的可能取值有0,,…,
故小球从初始位置开始振动,重新回到初始位置时所用的最短时间为 s,C正确;
对于D,由πt+可得t=,则当t= s时,小球第一次到达最高点,以后每隔一个周期都会重新到达一次最高点,因为小球在t s内经过最高点和最低点的次数均是10,所以T≤t<+10T,因为T=2,所以≤t<,所以小球从初始位置开始振动,若经过最高点和最低点的次数均为10,则所用时间的范围是,D错误.故选BC.
3.C　把分别代入y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),
得sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0,
所以ω+φ=+2k1π,k1∈Z,2ω+φ=π+2k2π,k2∈Z,解得ω=+2(k2-k1)π,φ=2(2k1-k2)π,k1,k2∈Z.所以3ω+φ=+2kπ,k1,k2,k∈Z,所以当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9 500=500sin+9 500=9 000,k∈Z.故此楼盘在第三季度的平均价格大约是9 000元/平方米.故选C.
4.AD　不妨设8月1日对应t=1,8月7日对应t=7,最小正周期为T,则=7-1=6,即T=12,∴ω=,A正确;由题得A==800,B错误;因为函数的最小正周期为12,所以此昆虫种群的数量从8月13日至19日逐日增加,从8月19日至25日逐日减少,C错误;由以上分析可知y=100sin+800,当t=1时,y取到最小值700,即+2kπ,k∈Z,故φ=-+2kπ,k∈Z,则y=100sin+800,k∈Z,
令100sin+800≥850,则sin,则+2kπ≤+2kπ,k∈Z,
即5+12k≤t≤9+12k,k∈Z,故5≤t≤9或17≤t≤21或29≤t≤31,共13天,D正确.
故选AD.
5.ACD　由题图得A+b=30,b-A=10,=14-6=8,所以b=20,A=10,T=16,所以ω=,所以f(x)=10sin+20.又f(6)=10,所以f(6)=10sin+20=10,即sin=-1,所以+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故A正确,B错误.
f(x+8)=10sin+20,所以f(x)+f(x+8)=40,故C正确.
g(x)=f(x+m)=10sin+20,若其是偶函数,则,k∈Z,即m=8k-2,k∈Z,所以当k=0时,|m|取得最小值,为2,故D正确.故选ACD.
6.答案　
解析　由A(1,-)知半径R==2,
∵旋转一周用时6秒,∴周期T=6,
∵ω>0,∴ω=,
∴f(t)=2sin,又t=0时,f(0)=-,
∴2sin,又|φ|<,
∴f(t)=2sin,
当t∈[0,m)时,-,
由f(t)在[0,m)内恰有3个最大值,得,解得7.解析　(1)根据题表中数据,描点、连线,可得其图象如下:
由图可知,可以选取函数h(t)=Asin(ωt+φ)+B来描述.
由题意得=12,所以T=24,ω=,
又因为
所以h(t)=4sin+10.
由h(2)=4sin+10=14,得sin=1,
所以,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,所以当k=0时,φ=,
所以h(t)=4sin+10,t∈[0,24].
还可以选取函数h(t)=Acos(ωt+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<来描述,求解过程同上,可得h(t)=4cos+10,t∈[0,24].
(2)由题意可知货轮安全进港的水深至少应达到12.8米,按模型h(t)=4sin+10进行计算,
由h(t)=4sin+10≥12.8,
得4sin≥2.8,即sin,
所以2kπ+≤2kπ+,k∈Z,
所以24k-1≤t≤24k+5,k∈Z,
又因为t∈[0,24],所以0≤t≤5或23≤t≤24.
结合题意,可安排货轮在0时到5时之间进港.
易知货轮安全离港的水深至少应达到12米,
根据题表中数据可知,最早在晚上10时后水深符合要求,可安全离港,货轮在港停留的时间最短为17小时.
综上,规划决策如下:应安排货轮最晚在凌晨5时进港,最早在晚上10时离港,在港停留的时间最短为17小时.
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