2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第三册
第八章　向量的数量积与三角恒等变换
8.1　向量的数量积
8.1.1　向量数量积的概念　8.1.2　向量数量积的运算律
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　向量的数量积
1.(2024山东淄博实验中学诊断)已知平面向量a,b的夹角为,|a|=3,|b|=2,则(a+b)·(a-2b)的值为(　　)
A.-2　　　　B.1-3+1
2.已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是　　　　.(填序号)
①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb);③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c).
题组二　向量的投影
3.(2024山东德州夏津第一中学阶段练习)已知平面内的向量a在向量b上的投影的数量为,且|a|=|b|=1,则|a-2b|的值为(　　)
A.
4.(2024河北石家庄部分重点中学期末)在等边△ABC中,,则向量上的投影向量为(　　)
A.
5.已知非零向量a,b,若a在b上的投影的数量为3,|b|=2,则a·b=　　　　.
题组三　向量的模和夹角
6.(2024山东省名校联盟开学考试)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,且|a+2b|=|a|,则a与b的夹角为(　　)
A.
7.(2022河北邯郸开学考试)已知非零向量a与b满足|a|=3|b|,且|a+2b|=2|a-2b|,则向量a与b的夹角的余弦值是(　　)
A.-
8.(2024上海复旦大学附属中学期末)设a,b是单位向量,且a·b=,向量c满足(c-a)·(c-2b)=,则|c|的取值范围是　　　　.
9.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若=-3,则cos∠DAB=　　　　.
题组四　向量垂直
10.已知△ABC中,,则△ABC是(　　)
A.等边三角形　　　　　　 B.锐角三角形
C.直角三角形 　　　　　　D.钝角三角形
11.(多选题)(2023浙北G2联盟期中)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是(　　)
A.a⊥b　　　　　　B.|a-b|=
C.|2b-a|=5　　　　　　D.(a+b)⊥(a-b)
12.(2024浙江宁波镇海中学期末)设e1,e2为两个单位向量,且=,若e1+λe2与3e1+4e2垂直,则λ=　　　　.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　向量的模和夹角
1.(多选题)(2023浙南名校联盟期中)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则(　　)
A.=　　　　　　B.a⊥(e1-e2)
C.a=(e1+e2)　　　　　　D.|a|=
2.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且其夹角为θ,则“|a-b|>1”是“θ∈”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024重庆万州一中月考)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足,若AB=AC=6,=6,则||=(　　)
A.　　　　C.12　　　　D.11
4.(2024辽宁沈阳二中月考)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos=(　　)
A.
5.(2022浙江北斗联盟期中)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a|=2|b|,设a-b与a+b的夹角为θ,则cos θ的最小值为(　　)
A.
题组二　向量的数量积及其应用
6.(2024北京师大附中期末)如图,圆M为△ABC的外接圆,AB=4,AC=6,N为BC的中点,则=(　　)
A.10　　　　B.13　　　　C.18　　　　D.26
7.(2024湖北十一校期末联考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,P为半圆弧上的动点(含端点),则的取值范围为(　　)
A.[2,6]　　　　B.[2,3]　　　　C.[4,6]　　　　D.[4,8]
8.(2022辽宁沈阳五校协作体期中)如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知点D是AB上一点,满足,点E是CB上一点,满足.
①当λ=时,求;
②是否存在非零实数λ,使得 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第八章　向量的数量积与三角恒等变换
8.1　向量的数量积
8.1.1　向量数量积的概念
8.1.2　向量数量积的运算律
基础过关练
1.C　a·b=|a|·|b|cos=-3,∴(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=32-(-3)-2×22=4.
2.答案　①②③
解析　显然①②③正确;令m=a·b,n=b·c,则(a·b)c=mc,a(b·c)=na,a,c均为任意向量,所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立,故④错误.
3.A　由题意可得,向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos=,又|a|=|b|=1,
所以|a|cos=|a|=a·b=,
所以|a-2b|=.
故选A.
4.B　由题可知)·|·||·cos 120°+3||·||·cos 60°=-||2,则,即向量.故选B.
5.答案　6
解析　由题意可得|a|cos=3,所以a·b=|a|·|b|cos=6.
6.C　因为|a+2b|=|a|,所以|a+2b|2=3|a|2,即a2+4a·b+4b2=3a2,又|a|=|b|,故a·b=-a2,
则cos=,
由于∈[0,π],故=.
故选C.
7.B　∵|a|=3|b|,且|a+2b|=2|a-2b|,∴a2+4a·b+4b2=4a2-16a·b+16b2,即9b2+4a·b+4b2=36b2-16a·b+16b2,∴20a·b=39b2,即20|a|×|b|×cos=39|b|2,∴20×3|b|×|b|cos=39|b|2,∴cos=,即向量a与b的夹角的余弦值为.
故选B.
8.答案　
解析　由(c-a)·(c-2b)=,得c2-(a+2b)·c+2a·b=.
因为单位向量a,b满足a·b=,
所以|a+2b|=,
c2+=(a+2b)·c≤|a+2b||c|=|c|,当且仅当a+2b与c同向共线时取等号,
因此c2-|c|+≤0,解得-1≤|c|≤+1.
所以|c|的取值范围是.
9.答案　
解析　∵,
∴,
∴.
又,
∴
=
=×4×3×cos∠DAB-×42=-3,
∴cos∠DAB=.
10.C　易知,
∴·(·(),
即=0,
∴·()=0,即=0,即,
∴△ABC是直角三角形.故选C.
11.ABD　因为|a|=|b|=1,且|b-2a|=,所以(b-2a)2=5,即b2+4a2-4b·a=|b|2+4|a|2-4b·a=5,所以b·a=0,则a⊥b,故A正确;
|a-b|=,故B正确;
|2b-a|=,故C错误;
(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故D正确.
故选ABD.
12.答案　-
解析　因为e1,e2为两个单位向量,且=,所以|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cos,
又e1+λe2与3e1+4e2垂直,故(e1+λe2)·(3e1+4e2)=0,即3+(4+3λ)e1·e2+4λ=0,故3+(4+3λ)×+4λ=0,解得λ=-.
能力提升练
1.BCD　由题意得e1·e2=|e1||e2|cos=cos=,又∈[0,π],所以=,故A错误;
因为a·e1=a·e2,所以a·(e1-e2)=0,即a⊥(e1-e2),故B正确;
设a=me1+ne2,则
解得m=n=,所以a=(e1+e2),故C正确;
因为|e1+e2|=,所以|a|=|e1+e2|=,故D正确.故选BCD.
2.C　若|a-b|>1,则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2cos θ>1,∴cos θ<,
又∵0≤θ≤π,∴θ∈.
若θ∈,则-1≤cos θ<,
∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2cos θ,
∴1<|a-b|2≤4,即1<|a-b|≤2.
故“|a-b|>1”是“θ∈”的充要条件.故选C.
3.A　因为BD=2DA,所以,
因为,所以E为CD的中点,
则)
=,
故|
=.
故选A.
4.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0,
所以|a-b|=,
由3a+4b+5c=0,得c=-a-b,则(a-b)·c=(a-b)·a2+b2-a·b=,所以cos=.故选B.
5.B　设b2=t,则a2=4b2=4t,所以|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,即2a·b=5t-9.
所以|a+b|=,所以cos θ=.
易知-2|a||b|≤2a·b≤2|a||b|,所以-4t≤5t-9≤4t,解得1≤t≤9.
令y=,显然y>0,整理得t2-10yt+9y=0,所以Δ=100y2-36y≥0,所以y≥.
当y=时,t=∈[1,9],所以cos θ的最小值为.
6.B　由N是BC的中点,得).
连接BM(图略),∵M是△ABC的外接圆的圆心,
∴|cos∠BAM=×42=8,同理,连接MC,可得|2=18,
∴)·×18=13.故选B.
7.C　易得|·(||cos∠PAB),
由投影的数量的定义知||cos∠PAB为上的投影的数量.
结合题图得,当点P在弧的中点时,||cos∠PAB取得最大值,为3,此时|·(||cos∠PAB)=2×3=6;
当点P与点C或点B重合时,||cos∠PAB取得最小值,为2,此时|·(||cos∠PAB)=2×2=4,
∴∈[4,6].故选C.
8.解析　(1)∵,且=2×1×cos 60°=1,∴|.
(2)①当λ=时,,
∴D,E分别是边AB,BC的中点,
∴),
∴)
=
=-×1×2×cos 120°+×2×1×cos 60°+.
②存在.理由如下:
假设存在非零实数λ,使得.
由,得),
∴.
∵,
∴.
∴=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,解得λ=或λ=0(舍去).
故存在λ=,使得.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)