2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.1.3 向量数量积的坐标运算

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2025人教B版高中数学必修第三册
8.1.3　向量数量积的坐标运算
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　向量数量积的坐标运算
1.(2024辽宁名校联盟模拟)已知向量a=(2,1),b=(-1,3),则(a+3b)·(a-b)=(　　)
A.-24　　　　B.-23　　　　C.-22　　　　D.-21
2.已知=(x,0),则当的值最小时,x的值是(　　)
A.-3　　　　　　B.3　　　　
C.-1　　　　　　D.1
3.(2024山东烟台招远二中月考)已知向量a=(-2,4),b=(1,t),若a与b共线,则向量a+b在向量j=(0,-1)上的投影向量为(　　)
A.j　　　　B.-j　　　　C.2j　　　　D.-2j
4.(2023重庆育才中学期中)在边长为6的正方形ABCD中,点E为DC的中点,点F在边BC上,且,则=　　　　.
题组二　向量的模和夹角
5.(多选题)(2023河北石家庄期中)已知点A(1,-2),B(2,0),C(3,-3),D(-1,-6),则(　　)
A.|
C.cos<
6.(2024安徽亳州期末)已知向量a=(λ+1,-4),b=(1,2),若a∥b,则|a-2b|=(　　)
A.4　　　　C.10　　　　D.4
7.(2024新疆乌鲁木齐八中期中)已知非零向量a=(t,0)(t∈R,t≠0),b=(-1,),若a·b=-4,则a+2b与b的夹角为(　　)
A.　　　　
C.
8.(2023山东菏泽期中)已知向量a=(2,0),b=(6,8),c=ta+b,=,则t=(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
9.(2024山东青岛第二中学阶段练习)已知向量a=(x,y),若向量(12m,5m)(m>0)与a是相反向量,且向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0),则x-y的值为(　　)
A.7　　　　B.-17　　　　C.17　　　　D.-7
10.(2023辽宁重点中学月考)若向量a=(,3),b=(n,),且a与b的夹角为锐角,则实数n的取值范围是(　　)
A.n>1　　　　　　B.n>-3且n≠1
C.n>-3　　　　　　D.-3题组三　向量垂直
11.(2024辽宁沈阳联合体期末)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=(　　)
A.
C.
12.(2024河北部分重点高中期末)在△ABC中,AD为BC边上的高,且向量=(1,7),则向量=(　　)
A.
C.(4,3)　　　　　　D.(4,4)
13.(2022河南郑州新密第一高级中学月考)在四边形ABCD中,=(-4,2),则该四边形的面积是(　　)
A.　　　　C.5　　　　D.10
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　向量数量积的坐标运算
1.(多选题)(2024江苏南通海安实验中学月考)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,则下列说法正确的是(　　)
A.若a与b共线,则a☉b=0
B.a☉b=b☉a
C.对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b)
D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
2.(2022江西九江一中期中)如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=2AE,CF=2BF,点P在正方形ABCD的边上,=3,则满足条件的点P的个数为(　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
3.(2024天津河西一模)在△ABC中,D是AC边的中点,AB=3,∠A=60°,=-5,则AC=　　　　;设M为平面上一点,且2,其中t∈R,则的最小值为　　　　.
4.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且,点Q是边AB上一点,且=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·()的取值范围.
题组二　向量的模和夹角
5.(2023河北张家口二模)已知向量a=,b=(-1,x),若|2a-b|2=4a2+b2+2,则实数x的值为(　　)
A.0　　　　　　B.1
C.-1　　　　　　D.
6.(2023安徽淮北师大附中月考)已知向量m=(1,1),n=(1,a),其中a为实数,当m与n的夹角在范围内变动时,实数a的取值范围是　(　　)
A.(0,1)　　　　　　 B.
C.∪(1,)
7.(2024北京朝阳期中)已知菱形ABCD中,AC=2,BD=2,点E为CD上一点,且CE=2ED,则∠AEB的余弦值为　　　　.
8.(2023上海华东师范大学第二附属中学月考)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,2a+b=0,2|c-a|=|c-b|,则c-b与a夹角的最大值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
8.1.3　向量数量积的坐标运算
基础过关练
1.B　因为a=(2,1),b=(-1,3),所以a+3b=(2,1)+(-3,9)=(-1,10),a-b=(3,-2),
所以(a+3b)·(a-b)=(-1,10)·(3,-2)=-23.
故选B.
2.B　由已知可得=(x-4,-1),所以=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,的值最小.
故选B.
3.D　因为a=(-2,4)与b=(1,t)共线,所以-2t-4=0,所以t=-2,则a+b=(-1,2),所以向量a+b在向量j=(0,-1)上的投影向量为·j=-2j,故选D.
4.答案　30
解析　由知,F为线段BC上靠近点B的三等分点.以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),E(3,6),F(6,2),所以=(6,2),所以=3×6+6×2=30.
5.ABD　对于A,=(-2,-4),
∵1×(-4)-2×(-2)=0,∴,故A正确;
对于B,|,故B正确;
对于C,
=-1,故C错误;
对于D,,故D正确.故选ABD.
6.B　由a∥b,得2(λ+1)=-4,解得λ=-3,
则a=(-2,-4)=-2b,所以|a-2b|=|-4b|=4|b|=4.故选B.
7.A　因为a·b=-t=-4,所以t=4,所以a=(4,0),
又b=(-1,),所以a+2b=(2,2).
设a+2b与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则cos θ=,所以θ=.故选A.
8.C　∵c=ta+b=(2t+6,8),∴a·c=4t+12,b·c=12t+100,由=得,解得t=5.故选C.
9.D　因为向量(12m,5m)(m>0)与a是相反向量,所以x·5m-y·12m=0且x,y<0,故5x=12y.
由向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0),
可得=(x,0)=(-12,0),即x=-12,故y=-5,
则x-y=-12-(-5)=-7.故选D.
10.B　由题意得a·b=.
因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0且a,b不共线,所以>0且-3n≠0,解得n>-3且n≠1.故选B.
11.D　设c=(m,n),则c+a=(1+m,2+n).
由(c+a)∥b,得-3×(1+m)=2×(2+n),即3m+2n=-7① .
由c⊥(a+b),a+b=(3,-1),得3m-n=0②.
联立①②,得m=-.∴c=.
12.D　由题知AD⊥BC.
因为=(1,7),
所以=(-2,2),
设,λ∈R,则)·=-6+10+8λ=0,解得λ=-,
则=(4,4).故选D.
13.C　因为=(-4,2),所以|=1×(-4)+2×2=0,即,所以S四边形ABCD==5.故选C.
能力提升练
1.ACD　对于A,若a与b共线,则a☉b=mq-np=0,故A正确;对于B,b☉a=pn-qm,而a☉b=mq-np,若a☉b=b☉a,则pn-qm=mq-np,即pn=mq,此等式不一定成立,故B错误;对于C,(λa)☉b=λmq-λnp,
λ(a☉b)=λ(mq-np)=λqm-λpn,故C正确;
对于D,(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.故选ACD.
2.D　以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略).
易知E(0,4),F(6,4).
若点P在边DC上,设P(x,0),x∈[0,6],则=(6-x,4),所以=-x(6-x)+16=3,即x2-6x+13=0,无解.
若点P在边CB上,设P(6,y),y∈[0,6],则=(0,4-y),所以=(4-y)2=3,解得y=4±,故在边CB上有两个点满足条件.
若点P在边AB上,设P(m,6),m∈[0,6],则=(6-m,-2),所以=-m(6-m)+4=3,即m2-6m+1=0,解得m=3±2,所以在边AB上有两个点满足条件.
若点P在边DA上,设P(0,n),n∈[0,6],则=(6,4-n),所以=(4-n)2=3,解得n=4±,故在边DA上有两个点满足条件.
综上所述,共有6个点满足条件.故选D.
3.答案　4;-
解析　由题得)·|=-5,所以||=4,即AC=4.
以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,使C点在第一象限内,则有A(0,0),B(3,0),C(2,2).
设M(x,y),由2,得2(x,y)=t(3,0)+(1-t)(2,2),解得x=t,即M,
则有,
所以,
则当t=时,取得最小值,为.
4.解析　(1)设P(14,y),
则=(-8,-3-y).
由,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-,y=-7,∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b).
由(1)得=(12,-16).
∵=0,∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①
∵点Q在边AB上,∴,
又=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②
联立①②,解得a=4,b=3,∴点Q的坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3).∵R为线段OQ(含端点)上的一个动点,∴设=(4t,3t),且0≤t≤1,则R(4t,3t),∴=(8-8t,6-6t),
∴·()=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50(0≤t≤1),∴当t=0或t=1时,上式取得最大值0;当t=时,上式取得最小值-.
故·()的取值范围为.
5.D　由|2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4a·b+|b|2=4a2+b2+2,得a·b=-.
由a=,b=(-1,x),得a·b=x=-x,所以-x=-,解得x=.故选D.
6.C　设向量m,n的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,m与n的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=,∠B2Ox=,故B1),
又m与n的夹角不为零,故a≠1,所以实数a的取值范围是∪(1,).
7.答案　
解析　设AC与BD交于点O,以O为坐标原点,AC,BD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(,
所以,
所以cos∠AEB=.
8.答案　
解析　因为2a+b=0,所以b=-2a,所以2|c-a|=2|c-b+b-a|=|c-b|,即2|c-b-3a|=|c-b|,
所以4[(c-b)2-6a·(c-b)+9a2]=(c-b)2,
又|a|=1,所以(c-b)2-8a·(c-b)+12=0,
所以a·(c-b)=,
所以cos=,当且仅当|c-b|=2时取等号,
又∈[0,π],所以c-b与a夹角的最大值为.
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