2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.2.1 两角和与差的余弦

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第三册
8.2　三角恒等变换
8.2.1　两角和与差的余弦
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　给角求值
1.(2022天津东丽期末)cos(-75°)的值是(　　)
A.
2.(2024江苏江浦高级中学月考)cos 10°sin 70°-sin 170°sin 20°=(　　)
A.
3.cos 15°+sin 15°=　　　　.
4.化简:=　　　　.
题组二　给值求值
5.(2024辽宁营口期末)已知α∈,且tan α=-2,则cos=(　　)
A.
6.(2024山东淄博高青一中月考)已知sin(α+60°)=,30°<α<120°,则cos α=(　　)
A.
7.(2022上海浦东新区华东师大二附中月考)已知cos,则cos x+cos=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.
8.(2023广东佛山质量检测)若0<α<,则cos=(　　)
A.
9.已知-,则cos=　　　　.
10.(2024安徽黄山高中毕业班第一次质检)已知sin α+sin β=,cos α-cos β=,则cos(α+β)的值为　　　　.
题组三　给值求角
11.若cos(α-β)=,cos 2α=,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　　)
A.
12.(2024北京二中段考)设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为　　　　.
13.(2023江苏扬州氾水高级中学月考)已知cos α=,α∈.
(1)求cos的值;
(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β的值.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用两角和与差的余弦公式求值
1.(2024安徽黄山一模)已知sin αsin β=,则cos(α+β)=(　　)
A.-
2.(2024江苏省东海高级中学第一次检测)已知0<β<α<,sin αsin β=,cos αcos β=,则cos 2α=(　　)
A.0　　　　B.　　　　D.1
3.(2024河北保定期中联考)记A,B,C为△ABC的内角,若cos B,cos C是方程5x2-3x-1=0的两根,则cos A=(　　)
A.
4.(2024辽宁本溪高级中学月考)已知锐角α的顶点为原点,始边在x轴非负半轴上,现将角α的终边绕原点逆时针转后,交以原点为圆心的单位圆于点P,则cos α的值为(　　)
A.
C.
5.(2022江苏盐城阜宁中学期末)若cos(α+β)=,则tan αtan β=　　　　.
6.(2023浙江绍兴一中月考)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=,则sin 2 022(α+β)+cos 2 022(α+β)=　　　　.
题组二　利用两角和与差的余弦公式求角
7.(2024辽宁葫芦岛模拟)已知α,β∈(0,π),且sin α=,cos α=sin βtan β,则(　　)
A.α=β　　　　　　B.α+β=π
C.α-β=
8.(2024北京第二十中学月考)在△ABC中,若2sin Asin B=1+cos C,则该三角形的形状一定是　　　　　　.
9.(2024山东枣庄三中期末)已知a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),且a·b=2.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若0<α<,且sin α=,求2α+β的值.
10.已知函数f(x)=-cos 2xcos +sin 2xsin ,若,且f(β)=,求2β-2α的大小.
答案与分层梯度式解析
8.2　三角恒等变换
8.2.1　两角和与差的余弦
基础过关练
1.C　cos(-75°)=cos(45°-120°)=cos 45°cos 120°+sin 45°sin 120°=.
2.A　原式=cos 10°sin(90°-20°)-sin(180°-10°)·sin 20°=cos 10°cos 20°-sin 10°sin 20°=cos(10°+20°)=cos 30°=,故选A.
3.答案　
解析　cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.
4.答案　
解析　=.
5.A　因为α∈,且tan α==-2,sin2α+cos2α=1,所以sin α=,cos α=-,所以cos=cos αcos+sin αsin.故选A.
6.A　∵30°<α<120°,∴90°<α+60°<180°,
又sin(α+60°)=.
∴cos α=cos [(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos 60°+sin(α+60°)sin 60°=-.
7.B　∵cos,∴cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos·cos x+sinsin x==1.
8.C　因为0<α<,
所以0<α+β<π,-,
所以sin(α+β)=.
所以cos=cos(α+β)·cos.故选C.
9.答案　
解析　由-,得0<α+.
因为cos,所以sin,
所以cos·cos.
10.答案　
解析　因为sin α+sin β=,cos α-cos β=,
所以(sin α+sin β)2=,(cos α-cos β)2=,
即sin2α+sin2β+2sin αsin β=,cos2α+cos2β-2cos αcos β=,
两式相加得2-2(cos αcos β-sin αsin β)=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.
11.C　∵α,β∈,且α<β,
∴α-β∈,2α∈(0,π),
∴sin(α-β)=-,sin 2α=,
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)
=.
易知α+β∈(0,π),∴α+β=.
解题模板　已知三角函数值求角,首先要根据条件确定所求角的范围;其次求所需的三角函数值,为防止出现增根最好选取在范围内单调的三角函数;最后结合三角函数值及角的范围求角.
12.答案　
解析　∵<β<π,sin α=,cos β=-,∴π<α+β<2π,cos α=-,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=-.
∵π<α+β<2π,∴α+β=.
13.解析　(1)由题意得sin α=-,所以coscos α+sinsin α=.
(2)由α∈,β∈得α+β∈,
又sin(α+β)=-,所以cos(α+β)=,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
因为β∈,所以β=.
能力提升练
1.B　因为sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin α·sin β=,所以cos αcos β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.
故选B.
2.A　∵sin αsin β=,cos αcos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
∵0<β<α<,0<α+β<π,
∴sin(α-β)=,
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)==0.故选A.
3.D　由根与系数的关系得cos B+cos C=,cos B·cos C=-,
∵ B,C∈(0,π),
∴sin Bsin C=
=
=,
∴cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C=.故选D.
4.D　由题意得,将角α的终边绕原点逆时针转后所得的角为α+,因为α为锐角,所以0<α<,故,又P点的横坐标为-<0,故P在第二象限内,则y=,故cos,则cos α=cos,故选D.
5.答案　
解析　因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
所以,所以tan αtan β=.
6.答案　1
解析　由cos α+cos β=得cos2α+cos 2β+2cos αcos β=①.
由sin α-sin β=得sin2α+sin 2β-2sin αsin β=②.
①+②,得2+2cos(α+β)=2,即cos(α+β)=0,
所以sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=1,
所以sin2 022(α+β)+cos2 022(α+β)=1.
7.A　由sin α=,可得cos2β=sin αsin β,
由cos α=sin βtan β,可得cos αcos β=sin2β,
故cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=sin2β+cos2β=1,又因为α,β∈(0,π),所以α-β∈(-π,π),
所以α-β=0,即α=β.故选A.
8.答案　等腰三角形
解析　∵1+cos C=1-cos(A+B)=1-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B,
∴sin Asin B+cos Acos B=1,即cos(A-B)=1.
∵0∴A-B=0,∴A=B,
∴△ABC一定为等腰三角形.
9.解析　(1)易得a·b=sin α(cos β-sin β)+(cos α-sin α)cos β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=2,所以cos(α+β)=.
(2)因为0<α<,sin α=,
所以cos α=,0<α+β<π.
又cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,
所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=.
因为0<α<,所以0<2α+β<,
所以2α+β=.
10.解析　f(x)=-cos 2xcos+sin 2xsin=cos 2x·cos +sin 2xsin .
因为f(α)=,且f(β)=,
所以cos.
因为,
所以2α-,
所以sin,
sin,
所以cos(2β-2α)=cos.
因为,所以0<2β-2α<,
所以2β-2α=.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)