2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.2.2 两角和与差的正弦、正切

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2025人教B版高中数学必修第三册
8.2.2　两角和与差的正弦、正切
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　给角求值
1.sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=(　　)
A.
2.(2024四川内江第六中学月考)tan 525°=(　　)
A.-2+
3.(2023江苏南京协同体七校期中)tan 5°+tan 25°+tan 5°tan 25°=(　　)
A.-
4.计算:.
题组二　给值求值
5.(2023海南海口模拟)已知α∈,sin α=,tan(π-β)=-3,则tan(α-β)=(　　)
A.1　　　　B.
6.(2024山东临沂月考)已知tan(α+β)=,则tan的值是(　　)
A.
7.(2024山东部分学校二模)在平面直角坐标系中,角α的顶点为原点,始边在x轴非负半轴上,终边经过点(-,2),则sin=　　　　.
8.已知锐角θ满足cos,则sin=　　　　.
题组三　给值求角
9.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,则α的值为(　　)
A.
10.(2024上海闵行月考)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,且β∈,则β=　　　　.
11.(2024陕西咸阳模拟)已知角α,β为锐角,且sin α=,则角β=　　　　.
题组四　辅助角公式
12.(2022湖南湘潭一中期末)当x=θ时,函数f(x)=3sin x-cos x取得最大值,则tan=　　　　.
13.(2024河南洛阳月考)已知sin α+cos,则sin=　　　　.
14.(2024辽宁沈阳第二中学期中)求值:=　　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的正弦、正切公式求值
1.=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.
2.(2022山东菏泽期末)已知cos,α∈,β∈,则sin(α+β)=(　　)
A.-
3.(2024山东滨州期末)已知0<α<,则=(　　)
A.
4.(2022山东青岛月考)已知sin[2(α+γ)]=3sin 2β,则=(　　)
A.　　　　D.2
5.(多选题)(2022江苏常州前黄中学月考)已知α,β∈,2sin(α+β)=sin αsin β,则下列说法正确的是(　　)
A.tan αtan β的最小值为16
B.tan α+tan β的最大值为8
C.-1
D.-≤tan(α+β)<-
6.(2024辽宁鞍山第六中学质检)已知α,β均为锐角,sin α=3sin βcos(α+β),则tan α取得最大值时,tan(α+β)的值为(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.2
7.(2024山东青岛五十八中阶段检测)已知函数f(x)=sin 2x-cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值;
(2)设α是锐角,f,求sin α的值.
题组二　利用两角和与差的正弦、正切公式求角
8.(2024山东泰安新泰一中期末)已知0<β<α<,点P(1,4)为角α终边上一点,且sin α·sin+cos αcos,则β=(　　)
A.
9.(2024陕西宝鸡期末)若角α,β满足2(cos2α·cos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,则α的值可能为(　　)
A.-
10.(2023重庆南开中学期末)若,且cos(α+β)=-,sin 2β=,则α-β=　　　　.
答案与分层梯度式解析
8.2.2　两角和与差的正弦、正切
基础过关练
1.D　原式=sin(21°-81°)=-sin 60°=-.
2.A　tan 525°=tan(360°+165°)=tan 165°=tan(180°-15°)=-tan 15°=-tan(45°-30°)=-.
3.B　由tan 30°=tan(5°+25°)=,
得tan 5°+tan 25°+tan 5°tan 25°=.故选B.
4.解析　原式==
=tan 45°=1.
5.A　因为α∈,sin α=,所以cos α=-,所以tan α=-2.
由tan(π-β)=-tan β=-3,得tan β=3.
所以tan(α-β)==1.故选A.
6.B　因为tan(α+β)=,
所以tan,故选B.
7.答案　-
解析　由题意及三角函数的定义,得sin α=,cos α=,
故sin=sin αcos+cos αsin.
8.答案　
解析　因为θ∈,所以θ+,
又cos,所以sin,
所以sin×=.
9.C　∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π).
∵cos(α-β)=.
∵β∈,sin β=-,∴cos β=.
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=.
10.答案　
解析　由题意可得sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=,即sin β=-,又β∈,所以β=.
11.答案　
解析　因为α为锐角,且sin α=,所以cos α=,tan α==2,所以tan β=tan[α-(α-β)]==1,
又β为锐角,所以β=.
12.答案　-
解析　f(x)=3sin x-cos x=×sin x-cos x=sin(x-α),其中cos α=,sin α=.
∵当x=θ时,函数f(x)取得最大值,
∴θ-α=2kπ+,k∈Z,即θ=2kπ++α,k∈Z,
∴tan θ=tan=-3,
∴tan.
13.答案　-
解析　因为sin α+cos=sin α+cos αcos+sin αsinsin α+cos α=sin α+cos α=,所以sin,
则sin.
14.答案　-2
解析　=
=,
因为sin 40°-sin 50°=sin(45°-5°)-sin(45°+5°)
=-2cos 45°sin 5°=-2×sin 5°=-sin 5°,
所以原式=.
能力提升练
1.D　tan 60°=tan(10°+50°)=,
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°.
∴
=
=
=-tan 60°=-.
2.B　因为α∈,所以-α∈,
又cos,所以sin.
因为β∈,所以+β∈,
又sin,
即sin,所以cos.
所以sin(α+β)=sin=sin+β·cos.故选B.
3.C　∵0<α<,∴α+β∈(0,π),
又cos(α+β)=,
∴sin(α+β)=,
即sin αcos β+cos αsin β=,
又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
∴sin αcos β=,cos αsin β=,
则.故选C.
4.D　因为sin[2(α+γ)]=3sin 2β,
sin[2(α+γ)]=sin[(α+β+γ)+(α-β+γ)]=sin(α+β+γ)·cos(α-β+γ)+cos(α+β+γ)sin(α-β+γ),
sin 2β=sin[(α+β+γ)-(α-β+γ)]=sin(α+β+γ)·cos(α-β+γ)-cos(α+β+γ)sin(α-β+γ),
所以sin(α+β+γ)cos(α-β+γ)=2cos(α+β+γ)·sin(α-β+γ),
所以=2.
5.AD　因为2sin(α+β)=2sin αcos β+2cos αsin β=sin αsin β,且α,β∈,所以tan αtan β=2(tan α+tan β)≥4,即tan αtan β≥16,当且仅当tan α=tan β=4时,等号成立,故A正确.
tan αtan β=2(tan α+tan β)≤,所以tan α+tan β≥8,当且仅当tan α=tan β=4时,等号成立,故tan α+tan β的最小值为8,故B错误.
-1+tan α+tan β=-1≥2-1,当且仅当tan αtan β=时,等号成立,结合A中分析,所以-1,故C错误.
tan(α+β)=,因为tan αtan β≥16,所以tan(α+β)∈,故D正确.故选AD.
6.D　sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β=3sin βcos(α+β),
则sin(α+β)cos β=4sin βcos(α+β),所以tan(α+β)=4tan β=4tan(α+β-α)=4×(*),
因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以tan(α+β)>0,(*)式可整理为tan α=,
因为tan(α+β)+≥2=4,当且仅当tan(α+β)=,即tan(α+β)=2时,等号成立,所以0故选D.
7.解析　(1)f(x)=sin 2x-cos=sin 2x-cos 2x-sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin.
因为x∈,所以2x-,
所以sin,
所以函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
(2)由(1)知f.
因为α为锐角,所以α∈,
所以α+.
因为sin,所以α+,
所以cos.
所以sin α=sincos sin .
8.D　由题意得sin α=,cos α=.
由sin αsin+cos αcos,
得sin αcos β-cos αsin β=,即sin(α-β)=.
∵0<β<α<.
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=.
∵0<β<.故选D.
9.B　由2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,得2(cos αcos β+sin αsin β)(cos αcos β-sin αsin β)
=2cos(α-β)cos(α+β)×
=2[sin(α+β)cos(α-β)+sin(α-β)cos(α+β)]
=2sin[(α+β)+(α-β)]
=2sin 2α=1,
所以sin 2α=,
所以2α=+2kπ,k∈Z或2α=+2kπ,k∈Z,
即α=+kπ,k∈Z或α=+kπ,k∈Z,
逐项检验可得α的值可能为-,故选B.
10.答案　
解析　因为<β<π,所以<2β<2π,
又sin 2β=>0,所以<2β<π,所以.
又π<α<,所以<α+β<2π.
因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=-.
因为<2β<π,sin 2β=,所以cos 2β=-.
所以sin(α-β)=sin[(α+β)-2β]=sin(α+β)cos 2β-cos(α+β)sin 2β=-.
因为,所以α-β=.
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